[EX] Serie

[Domcal2116]

Ciao a tutti, non riesco a studiare la convergenza di questa serie.


$sum_{n=0}^\infty\ sin^2(2^n/(3^n+n^2))$


Ho applicato il criterio del confronto asintotico e ho scritto che il seno al quadrato è asintoticamente equivalente al suo argomento. Poi applicando di nuovo il criterio asintotico ho ottenuto $(2/3)^n$, che è una serie geometrica convergente. Vi pare coretto il ragionamento ?

[giuscri]

"Domcal2116":
$sum_{n=0}^\infty\ sin^2(2^n/(3^n+n^2))$
Ho applicato il criterio del confronto asintotico e ho scritto che il seno al quadrato è asintoticamente equivalente al suo argomento.

Vero!

Poi applicando di nuovo il criterio asintotico ho ottenuto $(2/3)^n$, che è una serie geometrica convergente. Vi pare coretto il ragionamento ?

Quasi... Mi sa che ti sei perso un pezzo, eh. Guarda che il seno e' al quadrato. \[\sin^2{(\epsilon_n)} = (\epsilon_n + o(\epsilon_n))^2 = \epsilon_n^2 + o(\epsilon_n^2) \] Comunque per la monotonia del quadrato hai praticamente finito ...!