[EX] Problemi di Analisi I

[gugo82]

Problemi:

1. Siano $f:\RR \to \RR$ continua ed $l\in \RR$.

[list=a][*:7xbbayk6] Provare che:
\[
\tag{1} \lim_{x\to + \infty} f(x) = l\qquad \Rightarrow \qquad \lim_{x\to +\infty} \int_x^{x+1} f(t)\ \text{d} t = l\; .
\]
È vero il viceversa?

[/*:m:7xbbayk6]
[*:7xbbayk6] La (1) continua ad esser valida se $l=\pm \infty$?[/*:m:7xbbayk6][/list:o:7xbbayk6]

Suggerimenti: Usare la definizione di limite.
Per la seconda parte di a., pensare ad una funzione periodica a media nulla.

2. Sia $f:\RR \to \RR$ continua.
Provare che se per ogni $a \[
\tag{2}
\forall K> 0,\quad \int_{a+K}^{b+K} f(x)\ \text{d} x \geq \int_a^b f(x)\ \text{d} x
\]
allora $f$ è crescente in $\RR$.
Inoltre, mostrare che se in (2) vale la disuguaglianza stretta, allora $f$ è strettamente crescente.

Suggerimento: La funzione $g(K) := \int_{a+K}^{b+K} f(x)\text{d} x$ è continua in $[0,+oo [$, derivabile in $]0,+oo[$ e dotata di derivata destra in $0$; tale derivata destra è...

3. Studiare la successione $(a_n)$ definita ponendo:
\[
\tag{3} a_n:= \int_0^\pi e^{-nx}\ \sin (n^2 x)\ \text{d} x\; .
\]
In particolare, determinarne gli estremi superiore ed inferiore (specificando se essi sono massimo e minimo), nonché (eventualmente) il limite.

Suggerimenti: Si può fare esplicitamente il conto. Per calcolare il limite senza sporcarsi troppo le mani si può usare un cambiamento di variabile.

4. Per ogni $n\in \NN$ si consideri l'equazione:
\[
\tag{4}
x^n = \cos \left( \frac{x}{n}\right)
\]

[list=a][*:7xbbayk6] Provare che l'equazione (4) ha un'unica soluzione $x_n > 0$.

[/*:m:7xbbayk6]
[*:7xbbayk6] Dimostrare che $(x_n)$ è limitata.

[/*:m:7xbbayk6]
[*:7xbbayk6] Calcolare \(\displaystyle \lim_n x_n\).[/*:m:7xbbayk6][/list:o:7xbbayk6]

Suggerimenti: a. Usare il Teorema degli Zeri, il Criterio di Monotònia e le proprietà del coseno e delle potenze.
b. La limitatezza dal basso è ovvia; quella dall'alto segue dal punto precedente.
c. Usare la monotònia del coseno.

5. Dimostrare che tra tutte le funzioni $f:[-1,1]\to \RR$ la funzione valore assoluto è l'unica a soddisfare contemporaneamente tutte le proprietà seguenti:

[list=i][*:7xbbayk6] $f$ è convessa,

[/*:m:7xbbayk6]
[*:7xbbayk6] $f(1)=1=f(-1)$,

[/*:m:7xbbayk6]
[*:7xbbayk6] $f(0)=0$,

[/*:m:7xbbayk6]
[*:7xbbayk6] $\int_{-1}^1 f(x)\ \text{d} x = 1$[/*:m:7xbbayk6][/list:o:7xbbayk6]

Suggerimenti: Usare la convessità per stabilire che $f(x) <= |x|$ in $[-1,1]$. Ciò comporta che $|x|-f(x)$ è una funzione continua (perché?), non negativa e con integrale nullo, dunque...

[dissonance]

Credo che nella (2) vada richiesto che $f$ sia continua.

(belli questi esercizi, buona iniziativa)

[gugo82]

"dissonance":Credo che nella (2) vada richiesto che $f$ sia continua.

Certo, me l'ero perso.

"dissonance":(belli questi esercizi, buona iniziativa)

(Grazie)

[gugo82]

Aggiunti dei suggerimenti per i più pigri.

Fatevi sotto!

[theras]

@Gugo.
Ehi,prof :wink !
Le cose cambiano anche quì sul Forum,e non sò quanto è il caso d'aspettare eventuali risposte:
qualcuno alle prese con Analisi I dovrebbe rispondere a questi bei quesiti,ma nel caso contrario dai tu il via libera.
Saluti dal web.
P.S..Quella disuguaglianza nell'altra stanza è valida per tutti e soli i reali non negativi?

[VisX]

Provo a risolvere il primo.

Sia $F(x)=\int_{x_0}^{x} f(t)dt$ la funzione integrale di $f$.
Quello che ci viene chiesto è calcolare $\lim_{x\to\infty} F(x+1)-F(x)$.
Ora $F(x+1)-F(x)=\frac{F(x+1)-F(x)}{1}=\frac{F(x+1)-F(x)}{(x+1)-(x)}=f(c)$ con $ x< c Quando $x->\infty$ anche $c->\infty$ e dalla continuità di $f$ si ha $\lim_{c\to\infty} f(c)=l$, da cui la tesi (forse questa parte andrebbe formalizzata meglio). Inoltre la tesi sembrerebbe valere anche per $l=\pm\infty$.
Il viceversa è falso. Un controesempio è dato dalla funzione $f(x)=sin(2\pi x)$. Infatti $\int_{x}^{x+1} f(t)dt=0$ identicamente, ma il limite della funzione per $x\to\infty$ non esiste.

[gugo82]

@ VisX:

Il controesempio è ottimo e anche la dimostrazione è ok.
Forse, però, era più semplice notare che (per definizione di limite) fissato \(\varepsilon > 0\) esiste $K>0$ tale che:
\[
\forall x>K,\quad l-\varepsilon < f(x) < l+\varepsilon
\]
e, dato che \(x+1>x\), da ciò e dalla proprietà di monotonia dell'integrale definito segue:
\[
\forall x>K,\quad l-\varepsilon = \int_x^{x+1}(l-\varepsilon)\ \text{d}t < \int_x^{x+1} f(t)\ \text{d} t< \int_x^{x+1}(l+\varepsilon)\ \text{d}t = l + \varepsilon\; ,
\]
che è la tesi.
Questo modo di ragionare serve anche a provare che la (1) rimane valida pure se $l=\pm oo$.