[EX] Passaggi al Limite Sotto Segno di Integrale

[gugo82]

Ultimamente ho notato alcuni utenti che studiano Analisi Reale e mi è venuta voglia di proporre qualche esercizio che mi è passato sotto mano.
Lo faccio qui, sperando sia cosa gradita.

***

Richiami di teoria:

Ricordo gli enunciati dei tre teoremi fondamentali sul passaggio al limite sotto il segno d'integrale per l'integrale di Lebesgue:

Teorema della Convergenza Limitata
Siano $E\subseteq \RR^N$ misurabile secondo Lebesgue ed $(f_n)$ una successione di funzioni misurabili definite in $E$ a valori in $\RR$.
Se:

[*:16fe5f0p] $m(E)<+\infty$,

[/*:m:16fe5f0p]
[*:16fe5f0p] esiste $M >= 0$ tale che $|f_n(x)| <= M$ per q.o. $x\in E$,

[/*:m:16fe5f0p]
[*:16fe5f0p] $(f_n)$ converge q.o. in $E$ verso una funzione $f$ limitata,[/*:m:16fe5f0p][/list:u:16fe5f0p]

allora:
\[
\lim_n \int_E f_n(x)\ \text{d} x = \int_E f(x)\ \text{d} x\; ,
\]
cioè è valido il passaggio al limite sotto al segno d'integrale.

Teorema di Beppo Levi (o della Convergenza Monotòna)
Siano $E\subseteq \RR^N$ un insieme misurabile secondo Lebesgue ed $(f_n)$ una successione di funzioni misurabili definite in $E$ a valori in \(\widehat{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}\).

Se:

[*:16fe5f0p] $f_n(x)\geq 0$ q.o. in $E$,

[/*:m:16fe5f0p]
[*:16fe5f0p] $(f_n)$ è crescente, i.e. se $f_n(x)<= f_{n+1} (x)$ per q.o. $x\in E$,[/*:m:16fe5f0p][/list:u:16fe5f0p]

allora, detto $f$ il limite puntuale della successione $(f_n)$ (che è definito q.o. in $E$), si ha:
\[
\lim_n \int_E f_n(x)\ \text{d} x = \int_E f(x)\ \text{d} x\; ,
\]
cioè è valido il passaggio al limite sotto al segno d'integrale.

Teorema di Lebesgue (o della Convergenza Dominata)
Siano $E\subseteq \RR^N$ un insieme misurabile secondo Lebesgue ed $(f_n)$ una successione di funzioni misurabili definite in $E$ ed a valori in \(\widehat{\mathbb{R}}\).

Se:

[*:16fe5f0p] esiste una funzione \(\phi :E\to \widehat{\mathbb{R}}\) tale che \(|f_n(x)|\leq \phi (x)\) per q.o. $x\in E$,

[/*:m:16fe5f0p]
[*:16fe5f0p] $\phi$ è integrabile (come funzione non negativa, i.e. sommabile) in $E$,

[/*:m:16fe5f0p]
[*:16fe5f0p] $(f_n)$ converge q.o. in $E$ verso una funzione $f$,[/*:m:16fe5f0p][/list:u:16fe5f0p]

allora:
\[
\lim_n \int_E f_n(x)\ \text{d} x = \int_E f(x)\ \text{d} x\; ,
\]
cioè è valido il passaggio al limite sotto al segno d'integrale.

Inoltre ricordo la fondamentale definizione:

Siano $E\subseteq \RR^N$ misurabile secondo Lebesgue e $p >= 1$.

L'insieme:
\[
L^p(E) :=\left\{ f:E\to \widehat{R} \text{ t.c. } f \text{ è misurabile ed } \int_E |f(x)|^p\ \text{d} x<+\infty\right\}
\]
(in cui si conviene di identificare funzioni q.o. uguali in $E$) si chiama spazio di Lebesgue d'ordine $p$ su $E$, o semplicemente spazio $L^p$.
La funzione:
\[
\| \cdot \|_p : L^p(E)\ni f \mapsto \left( \int_E |f(x)|^p\ \text{d} x\right)^\frac{1}{p} \in [0,+\infty[
\]
si chiama norma integrale d'ordine $p$, o semplicemente norma $L^p$.

Per $p=oo$, si pone:
\[
L^\infty (E) := \left\{ f:E\to \widehat{R} \text{ t.c. } f \text{ è misurabile ed è limitata q.o. in } E\right\}
\]
(in cui si conviene di identificare funzioni q.o. uguali in $E$) si chiama spazio di Lebesgue d'ordine $oo$ su $E$, o semplicemente spazio $L^oo$.
La funzione:
\[
\| \cdot \|_\infty : L^p(E)\ni f \mapsto \min \left{ M\geq 0:\ |f(x)|\leq M \text{ q.o. in } E\right\} \in [0,+\infty[
\]
si chiama norma $oo$, o semplicemente norma $L^oo$.

Per ogni $1 <= p <= oo$, la funzione \(\|\cdot \|_p\) è una norma ed induce su $L^p(E)$ una struttura di spazio metrico.

La nozione di convergenza associata alle norme $L^p$ per $1<=p<=oo$ è la seguente:

Si dice che una successione $(f_n)\subseteq L^p(E)$ converge verso una funzione $f\in L^p(E)$ in norma se e solo se:
\[
\lim_n \| f_n-f\|_p =0\; .
\]

***

Esercizi:

1. Utilizzando opportunamente i teoremi di passaggio al limite per l'integrale di Lebesgue e giustificando i passaggi, calcolare i seguenti limiti:
\[
\begin{align}
\tag{I} &\lim_n \intop_0^\infty x^n\ e^{-nx}\ \text{d} x \\
\tag{II} &\lim_n \intop_1^\infty \frac{n}{1+n^2x^2}\ \text{d} x\\
\tag{III} &\lim_n\ n\ \intop_0^1 x^n\ (1-x)\ \text{d} x\\
\tag{IV} &\lim_n \iint_{B(\mathbf{0};1)} \frac{xy + 1}{\sqrt{\frac{1}{n^2} + x^2 + y^2}}\ \text{d} x\text{d} y\; .
\end{align}
\]

2. Studiare la convergenza in $L^p(\RR^2)$, con $1<= p <= oo$, della successione di funzioni:
\[
\tag{A} f_n(x,y) := \sin (nxy)\ e^{-n(x^2+y^2)}\; .
\]

3. Sia $f:\RR^N -> \RR$ una funzione sommabile, cioè $f\in L^1(\RR^N)$.
Provare che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists K=K_\varepsilon \subseteq \mathbb{R}^N:\quad K\text{ è compatto e } \int_{\mathbb{R}^N\setminus K} |f| < \varepsilon\; .
\]

[gugo82]

Calma, calma... Non vi accalcate.
Ce n'è per tutti!

[anto_zoolander]

[ot]Ti giuro che lo metto tra i preferiti ed entro il secondo anno di Università mi ci metto [/ot]

[gugo82]

"anto_zoolander":[ot]Ti giuro che lo metto tra i preferiti ed entro il secondo anno di Università mi ci metto [/ot]

[ot]Se ti iscrivi a Matematica, ci lavori dal 3° in poi.
Se prendi ingegneria o fisica, forse, dal secondo anno potrai pure mettertici. [/ot]

[anto_zoolander]

"gugo82":[ot]Se ti iscrivi a Matematica, ci lavori dal 3° in poi.
Se prendi ingegneria o fisica, forse, dal secondo anno potrai pure mettertici. [/ot]

[ot]allora ci vediamo tra 3 anni

ma in matematica si fa dopo, perché sostanzialmente si dedicano più ore a ciascuna disciplina,no?

[/ot]

[gugo82]

[ot]Beh, sostanzialmente sì.
Mentre a Ingegneria e Fisica i corsi di Analisi di base (cioè I e II) si fanno al primo anno, a Matematica si fanno nei primi due anni e sono annuali, non semestrali.[/ot]

[anto_zoolander]

[ot]basta faccio l'ultimo ot che sennò diventa tutta la discussione basata su ot comunque non vedo l'ora da me, a Palermo, di analisi I,II complessivamente si fanno 600 ore tra lezioni esercitazioni ecc. Mentre in ingegneria elettronica(per esempio) se ne fanno 340 tipo. 300 ore di analisi I belle sono [/ot]

[Sk_Anonymous]

"gugo82":[...]

3. Sia $f:\RR^N -> \RR$ una funzione sommabile, cioè $f\in L^1(\RR^N)$.
Provare che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists K=K_\varepsilon \subseteq \mathbb{R}^N:\quad K\text{ è compatto e } \int_{\mathbb{R}^N\setminus K} |f| < \varepsilon\; .
\]

Oggi volevo riposare un po', ma va sempre a finire così...
Provo a fare questo e lascio i contazzi a qualcun altro.

Denoto con \(S(\mathbb{R}^N)\) lo spazio delle funzioni semplici su \(\mathbb{R}^N\); è noto che \(S(\mathbb{R}^N) \cap L^1(\mathbb{R}^N)\) è denso in \(L^1(\mathbb{R}^N)\). Supponiamo ora che il risultato sia vero per funzioni semplici sommabili, e sia \(f \in L^1(\mathbb{R}^N)\); allora esiste \( \{f_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subseteq S(\mathbb{R}^N) \cap L^1(\mathbb{R}^N)\) tale che \(f_n \to f\) in \(L^1\). Fissato \(\epsilon > 0 \) esistono senz'altro \(N \in \mathbb{N}\) ed un compatto \( K(\epsilon,N)\) tali che \[\int_{\mathbb{R}^N} |f - f_N| < \epsilon \]e \[\int_{\mathbb{R}^N \setminus K(\epsilon,N)} |f_N| < \epsilon. \]Pertanto \[\begin{split} \int_{\mathbb{R}^N \setminus K(\epsilon,N)} |f| & \le \int_{\mathbb{R}^N \setminus K(\epsilon,N)} |f - f_N| + \int_{\mathbb{R}^N \setminus K(\epsilon,N)} |f_N| \\ & \le \int_{\mathbb{R}^N } |f - f_N| + \int_{\mathbb{R}^N \setminus K(\epsilon,N)} |f_N| < 2 \epsilon. \end{split}\]

Ora, una funzione semplice \(g : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}\) è del tipo \[g(x) = \sum_{k=1}^n a_k \chi_{A_k} (x) \] ove gli \(A_i \subseteq \mathbb{R}^N\) sono disgiunti e misurabili, \(\chi\) è la solita funzione caratteristica e \(a_i \in \mathbb{R}\). Nella fattispecie, qualore volessimo \(g\) sommabile su \(\mathbb{R}^N\) (e in effetti lo vogliamo), dobbiamo richiedere che \(m(A_i) < \infty\) per ogni \(i=1, \dots, n\), ove \(m(\cdot)\) e la misura di Lebesgue sulla \(\sigma\)-algebra dei boreliani.

Per concludere bisogna ricordare che se \(E \subseteq \mathbb{R}^N\) misurabile e di misura finita, allora per ogni \(\epsilon >0 \) esiste un compatto \(K \subseteq E\) tale che \(m(E \setminus K) < \epsilon\). Da qui si ha infatti, ricordando che unione finita di compatti è compatta, \[\sum_{k=1}^n a_k m(A_k \setminus K_k) = \int_{R^N \setminus \bigcup_k K_k} |g| < \epsilon \sum_{k=1}^na_k .\]

Non sono molto soddisfatto di come ho scritto questa dimostrazione (anzi, a dire il vero non lo sono per niente), ma mi pare che l'idea tutto sommato sia chiara, e che la cosa funzioni.

[gugo82]

@Delirium: C'è una strada molto più semplice... Basta sfruttare un appropriato teorema di passaggio al limite.

[Sk_Anonymous]

@gugo: ok, sono veramente tonto:

Assumo wlog \(f\) positiva. Se \(B(0,n) \subseteq \mathbb{R}^N\) è la palla chiusa di centro l'origine e di raggio \(n\), si ha \[f_n(x) := f(x) \chi_{B(0,n)} (x) \nearrow f(x) \quad \forall \, x \in \mathbb{R}^N \]per \(n \to \infty\). Per il teorema della convergenza monotona si ha pertanto \[ \int_{\mathbb{R}^N} f_n \nearrow \int_{\mathbb{R}^N} f < \infty. \]Se ne conclude che \[\lim_n \left[ \int_{\mathbb{R}^N} f - \int_{\mathbb{R}^N} f_n \right] = \lim_n \int_{\mathbb{R}^N \setminus B(0,n)} f = 0.\]Questo è sufficiente.

[gugo82]

@Delirium: Well done!

Per il resto? Nessuno si vuole cimentare?
Sono esercizietti grosso modo standard...

[cooper1]

riesumo questo post per esercitarmi in vista dell'esame ormai imminente! spero nelle vostre correzioni e consigli, anche perchè non so se quello che ho fatto è sempre lecito o meno !
Esercizio 1:

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n e^(-nx) $
la successione di funzioni tende (per $n -> +oo$) alla funzione limite $f(x)=0$.
per questo primo esercizio ho giustificato il passaggio al limite sotto il segno di integrale con un'operazione che non so se sia esattamente consentita......
valutando la monotonia della successione ho scoperto che è decrescente. infatti si ha che $ f_(n+1)/(f_n)=x/(e^x)<1, AAnin NN $
a questo punto l'ho "fatta diventare" crescente introducendo un segno meno, cambiando il limite di partenza in $ -lim_(n) int_(0)^(+oo) -x^n e^(-nx) dx $
la nuova successione di funzioni è ora crescente. tutte le ipotesi del teorema di convergenza monotona sono rispettate quindi il limite dato fa zero.

Esercizio 2:

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(1)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= n/(1+n^2 x^2) $
qui ho pensato di maggiorare tutto l'integrale arrivando a dire che $ |int_(1)^(+oo)n/(1+n^2x^2)dx| <= int_(1)^(+oo)|n/(1+n^2x^2)|dx <= n int_(1)^(+oo)1/(n^2x^2)dx $
il tutto si riduce quindi a $ 1/n int_(1)^(+oo)1/(x^2)dx $
poichè l'integrale è finito nell'intervallo considerato (l'unico intorno che crea problemi è quello di infinito ma lì l'integranda è sommabile poiché 2 > 1) rimane:

$ lim_(n-> +oo)1/n M=0 $

Esercizio 3:

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(1) n f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n (1-x) $
qui ho pensato di svolgere i prodotti e ricondurmi a calcolare il limite di:
$ int_(0)^(1) n x^n dx - int_(0)^(1) n x^(n+1) dx $
faccio ora il cambio di variabili seguente: $ y:=x^n rArr nx^(n-1)dx=dy $
sostituendo negli integrali e sapendo che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti mi riconduco ad avere

$ lim_n int_(0)^(1) 1/y^(1/n) dy - lim_n int_(0)^(1) dy $

ora:

[*:xifd0wsf] nel primo addendo ho fatto come nel primo esercizio: la successione decrescente l'ho fatta diventare crescente con un segno meno che ho anche messo fuori dal limite. a questo punto applico il teorema della convergenza monotona a $f_n (y):= 1/y^(1/n)$ che ha per funzione limite 1;[/*:m:xifd0wsf]
[*:xifd0wsf] nel secondo addendo basta svolgere l'integrale, che vale 1.[/*:m:xifd0wsf][/list:u:xifd0wsf]
il limite di partenza vale allora: $ -lim_n 1 - lim_n 1 = -2 $

Esercizio 4:

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(B(0;1)) (xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) dxdy $
la funzione limite di $ f_n (x,y):=(xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) $ per $n-> +oo$ vale $ f (x,y)=(xy+1)/(sqrt(x^2+y^2)) $
qui ho pensato di maggiorare in questo modo:
$ |xy+1|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) <= |xy|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2))+1/sqrt(1/n^2+x^2+y^2) <= |xy|/(sqrt(x^2+y^2))+1 := g(x,y)$
risulta ora che $g(x,y) in L(B_(0,1))$. tutte le ipotesi del teorema di convergenza dominata sono soddisfatte per cui il passaggio al limite sotto il segno di integrale è consentito. devo quindi risolvere l'integrale doppio seguente (avendo già fatto il passaggio in coordinate polari con le semplificazioni del caso):

$ int_(0)^(2 pi) int_(0)^(1)(rho^2 costheta sintheta+1) drho d\theta=int_(0)^(2pi)(1/3 costheta sintheta+1) d\theta=2pi $

spero di non aver detto troppe boiate!!!

[gugo82]

"cooper":riesumo questo post per esercitarmi in vista dell'esame ormai imminente! spero nelle vostre correzioni e consigli, anche perchè non so se quello che ho fatto è sempre lecito o meno !

Riesumiamo, riesumiamo pure...

"cooper":Esercizio 1:

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n e^(-nx) $
la successione di funzioni tende (per $n -> +oo$) alla funzione limite $f(x)=0$.
per questo primo esercizio ho giustificato il passaggio al limite sotto il segno di integrale con un'operazione che non so se sia esattamente consentita......
valutando la monotonia della successione ho scoperto che è decrescente. infatti si ha che $ f_(n+1)/(f_n)=x/(e^x)<1, AAnin NN $
a questo punto l'ho "fatta diventare" crescente introducendo un segno meno, cambiando il limite di partenza in $ -lim_(n) int_(0)^(+oo) -x^n e^(-nx) dx $
la nuova successione di funzioni è ora crescente. tutte le ipotesi del teorema di convergenza monotona sono rispettate quindi il limite dato fa zero.

Barbatrucco!

Ma comunque basta molto meno: infatti, dato che \(f_n(x)\leq f_1(x)\) ovunque (come segue dalla monotònia della successione) e dato che \(\phi(x):=f_1(x)\) è continua (ergo misurabile), positiva e sommabile (per noti fatti di Analisi I), sono soddisfatte tutte le ipotesi del Teorema di Convergenza Dominata e il limite passa sotto integrale tranquillamente.

Quindi:
\[
\lim_n \int_0^{+\infty} x^n\ \mathbf{e}^{-nx}\ \text{d} x = \int_0^{+\infty} \lim_n x^n\ \mathbf{e}^{-nx}\ \text{d} x = 0
\]
dato che:
\[
x^n\ \mathbf{e}^{-nx} = \Big(\underbrace{\frac{x}{\mathbf{e}^x}}_{<1}\Big)^n \to 0\qquad \text{per $n\to \infty$}
\]
per ogni $x>=0$.

"cooper":Esercizio 2:

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(1)^(+oo)f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= n/(1+n^2 x^2) $
qui ho pensato di maggiorare tutto l'integrale arrivando a dire che $ |int_(1)^(+oo)n/(1+n^2x^2)dx| <= int_(1)^(+oo)|n/(1+n^2x^2)|dx <= n int_(1)^(+oo)1/(n^2x^2)dx $
il tutto si riduce quindi a $ 1/n int_(1)^(+oo)1/(x^2)dx $
poichè l'integrale è finito nell'intervallo considerato (l'unico intorno che crea problemi è quello di infinito ma lì l'integranda è sommabile poiché 2 > 1) rimane:

$ lim_(n-> +oo)1/n M=0 $

Qui, evidentemente, si può fare addirittura il conto esplicito, in quanto le primitive di $f_n(x):=\frac{n}{1+n^2x^2}$ sono arcotangenti, i.e. $F_n(x) = \arctan (nx)$ (a meno di costanti additive).

Se, com'è implicito nel testo dell'esercizio, si vuole evitare il calcolo esplicito, basta notare che per $x>=1$ si ha \(f_{n+1}(x) \leq f_n(x)\) e ragionare come prima, poiché \(f_1(x)=\frac{1}{1+x^2}\) è continua (ergo misurabile), positiva e sommabile.

Quindi:
\[
\lim_n \int_1^{+\infty} \frac{n}{1+n^2x^2}\ \text{d} x = \int_1^{+\infty} \lim_n \frac{n}{1+n^2x^2}\ \text{d} x = 0\; .
\]

"cooper":Esercizio 3:

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(0)^(1) n f_n (x) dx $ con $ f_n(x):= x^n (1-x) $
qui ho pensato di svolgere i prodotti e ricondurmi a calcolare il limite di:
$ int_(0)^(1) n x^n dx - int_(0)^(1) n x^(n+1) dx $
faccio ora il cambio di variabili seguente: $ y:=x^n rArr nx^(n-1)dx=dy $
sostituendo negli integrali e sapendo che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti mi riconduco ad avere

$ lim_n int_(0)^(1) 1/y^(1/n) dy - lim_n int_(0)^(1) dy $

ora:

[*:2xln8l3a] nel primo addendo ho fatto come nel primo esercizio: la successione decrescente l'ho fatta diventare crescente con un segno meno che ho anche messo fuori dal limite. a questo punto applico il teorema della convergenza monotona a $f_n (y):= 1/y^(1/n)$ che ha per funzione limite 1;[/*:m:2xln8l3a]
[*:2xln8l3a] nel secondo addendo basta svolgere l'integrale, che vale 1.[/*:m:2xln8l3a][/list:u:2xln8l3a]
il limite di partenza vale allora: $ -lim_n 1 - lim_n 1 = -2 $

In questo caso basta notare che per $0<= x <=1$ le quantità $x^n$ ed $1-x$ sono non negative e non superano $1$, ergo il loro prodotto è $<=1$; pertanto (visto anche che l'insieme di integrazione ha misura finita) si può applicare il Teorema della Convergenza Limitata e passare al limite sotto integrale tranquillamente.

Quindi:
\[
\lim_n n\ \int_0^1 x^n\ (1-x)\ \text{d}x = \int_0^1 \lim_n n\ x^n\ (1-x)\ \text{d} x = 0\; .
\]

Un altro modo per provare il passaggio al limite sotto integrale sta nel notare che la funzione integranda $f_n(x)$ presenta massimo assoluto in $[0,1]$ nel punto $x_n=n/(n+1)$; poiché abbiamo:
\[
M_n := f_n\left( \frac{n}{n+1}\right) = \left( \frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\underbrace{\leq \frac{1}{\mathbf{e}}}_{\text{(M)}}\; ,
\]
con la maggiorazione (M) valida per noti fatti di Analisi I, concludiamo che è possibile invocare il TdCL come sopra.

"cooper":Esercizio 4:

Sia dato il limite $ lim_(n) int_(B(0;1)) (xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) dxdy $
la funzione limite di $ f_n (x,y):=(xy+1)/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) $ per $n-> +oo$ vale $ f (x,y)=(xy+1)/(sqrt(x^2+y^2)) $
qui ho pensato di maggiorare in questo modo:
$ |xy+1|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2)) <= |xy|/(sqrt(1/n^2+x^2+y^2))+1/sqrt(1/n^2+x^2+y^2) <= |xy|/(sqrt(x^2+y^2))+1 := g(x,y)$
risulta ora che $g(x,y) in L(B_(0,1))$. tutte le ipotesi del teorema di convergenza dominata sono soddisfatte per cui il passaggio al limite sotto il segno di integrale è consentito. devo quindi risolvere l'integrale doppio seguente (avendo già fatto il passaggio in coordinate polari con le semplificazioni del caso):

$ int_(0)^(2 pi) int_(0)^(1)(rho^2 costheta sintheta+1) drho d\theta=int_(0)^(2pi)(1/3 costheta sintheta+1) d\theta=2pi $

Giusto, ad occhio e croce.

"cooper":spero di non aver detto troppe boiate!!!

Come vedi, no.
Serve solo un po' di esperienza in più per semplificare i ragionamenti.

[cooper1]

ti ringrazio per le correzioni e per gli utili spunti per semplificarmi la vita in futuro!