[Ex] - Operatore lineare
Saluti, chiedo lumi intorno al seguente esercizio:
Sia \(\displaystyle X=\mathcal{C}([0,1]) \) munito della sup-norma e sia \(\displaystyle T:X \to \mathbb{R} \) l'applicazione \[\displaystyle T(f)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} f(1/n) \]
i) Provare che \(\displaystyle T \in \mathcal{L}(X,\mathbb{R})=\{ T: X \to \mathbb{R} \; | \; T \text{ lineare e limitata} \} \);
ii) Calcolare \(\displaystyle \|T \|=\sup_{\|f \|_{\infty} \le 1} |T(f)| \);
iii) Dire se esiste una funzione \(\displaystyle f \in X \) con \(\displaystyle \|f \|_{\infty} \le 1 \) t.c. \(\displaystyle T(f) = \|T \| \).
Svolgimento:
(i) Devo provare (linearità) che presi comunque \(\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) e \(\displaystyle f,g \in X \) vale \[\displaystyle T(\alpha f + \beta g)=\alpha T(f) + \beta T(g) \]Si ha \[\displaystyle T(\alpha f + \beta g)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \qquad [1] \] osservo che la funzione \(\displaystyle \alpha f + \beta g \) è continua su \(\displaystyle [0,1] \) in quanto composizione di funzioni continue e quindi, in virtù del th. di Weierstrass, ammette massimo. Pongo \(\displaystyle M=\max_{x \in [0,1]} (\alpha f + \beta g) \) e osservo che \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \le \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \right|= \] \[\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2}\right)^n |\alpha f(1/n) + \beta g(1/n)| \le M \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^n =M\]Quindi \(\displaystyle [1] \) converge assolutamente. Posso pertanto concludere che \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n)) = \alpha \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} f(1/n) + \beta \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n} g(1/n) \]
Per la limitatezza, mi basta provare che \(\displaystyle T \) è continua in \(\displaystyle 0 \) (sono condizioni equivalenti).
Cerco di vedere se è verificata la definizione di continuità: è \[\displaystyle \|f - 0 \|_{\infty} = \|f \|_{\infty} =\sup_{x \in [0,1]} |f| \] allora \[\displaystyle |T(f)-T(0)|=|T(f)| = \left| \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n} f(1/n) \right|\le \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n |f(1/n)|\le \frac{\delta}{2} \] quindi mi basta prendere \(\displaystyle \epsilon=\frac{\delta}{2} \) e sono a posto.
(ii) Intanto noto che la limitatezza mi garantisce che \(\displaystyle \| T \| < \infty \).
Qui non sono troppo sicuro ma, esplicitando per bene la definizione dovrebbe aversi \[\displaystyle \|T \|= \sup_{\|f \|_{\infty} \le 1} |T(f)| \] e direi che la serie in questione è "massima" quando l'ipotetica \(\displaystyle f \) vale \(\displaystyle 1 \) su \(\displaystyle 1/2n \) e \(\displaystyle -1 \) su \(\displaystyle 1/(2n+1) \), \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \). Quindi dovrebbe essere \[\displaystyle \| T \| =\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 1 \]
(iii) Anche qui non ho certezze. Una funzione che fa il "mestiere" di cui sopra è \[\displaystyle \sin \left[ -\frac{\pi}{2} + \left(\frac{1}{x} -1 \right)\pi \right] \] ma non è continua in \(\displaystyle 0 \).
Che ne dite?
Edit. C'era un \(\displaystyle \delta \) di troppo.
Sia \(\displaystyle X=\mathcal{C}([0,1]) \) munito della sup-norma e sia \(\displaystyle T:X \to \mathbb{R} \) l'applicazione \[\displaystyle T(f)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} f(1/n) \]
i) Provare che \(\displaystyle T \in \mathcal{L}(X,\mathbb{R})=\{ T: X \to \mathbb{R} \; | \; T \text{ lineare e limitata} \} \);
ii) Calcolare \(\displaystyle \|T \|=\sup_{\|f \|_{\infty} \le 1} |T(f)| \);
iii) Dire se esiste una funzione \(\displaystyle f \in X \) con \(\displaystyle \|f \|_{\infty} \le 1 \) t.c. \(\displaystyle T(f) = \|T \| \).
Svolgimento:
(i) Devo provare (linearità) che presi comunque \(\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) e \(\displaystyle f,g \in X \) vale \[\displaystyle T(\alpha f + \beta g)=\alpha T(f) + \beta T(g) \]Si ha \[\displaystyle T(\alpha f + \beta g)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \qquad [1] \] osservo che la funzione \(\displaystyle \alpha f + \beta g \) è continua su \(\displaystyle [0,1] \) in quanto composizione di funzioni continue e quindi, in virtù del th. di Weierstrass, ammette massimo. Pongo \(\displaystyle M=\max_{x \in [0,1]} (\alpha f + \beta g) \) e osservo che \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \le \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \right|= \] \[\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2}\right)^n |\alpha f(1/n) + \beta g(1/n)| \le M \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^n =M\]Quindi \(\displaystyle [1] \) converge assolutamente. Posso pertanto concludere che \[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n)) = \alpha \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} f(1/n) + \beta \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n} g(1/n) \]
Per la limitatezza, mi basta provare che \(\displaystyle T \) è continua in \(\displaystyle 0 \) (sono condizioni equivalenti).
Cerco di vedere se è verificata la definizione di continuità: è \[\displaystyle \|f - 0 \|_{\infty} = \|f \|_{\infty} =\sup_{x \in [0,1]} |f| \] allora \[\displaystyle |T(f)-T(0)|=|T(f)| = \left| \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n} f(1/n) \right|\le \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n |f(1/n)|\le \frac{\delta}{2} \] quindi mi basta prendere \(\displaystyle \epsilon=\frac{\delta}{2} \) e sono a posto.
(ii) Intanto noto che la limitatezza mi garantisce che \(\displaystyle \| T \| < \infty \).
Qui non sono troppo sicuro ma, esplicitando per bene la definizione dovrebbe aversi \[\displaystyle \|T \|= \sup_{\|f \|_{\infty} \le 1} |T(f)| \] e direi che la serie in questione è "massima" quando l'ipotetica \(\displaystyle f \) vale \(\displaystyle 1 \) su \(\displaystyle 1/2n \) e \(\displaystyle -1 \) su \(\displaystyle 1/(2n+1) \), \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \). Quindi dovrebbe essere \[\displaystyle \| T \| =\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 1 \]
(iii) Anche qui non ho certezze. Una funzione che fa il "mestiere" di cui sopra è \[\displaystyle \sin \left[ -\frac{\pi}{2} + \left(\frac{1}{x} -1 \right)\pi \right] \] ma non è continua in \(\displaystyle 0 \).
Che ne dite?
Edit. C'era un \(\displaystyle \delta \) di troppo.
Risposte
Il primo punto è giusto.
L'intuizione per il secondo punto pure è buona.
Però il terzo punto no.
Per quanto riguarda il secondo punto, prendi la successione di funzioni \(f_n\) definite ponendo:
\[
f_n(x):=\begin{cases} \cos \frac{\pi}{x} & \text{, se } x\geq \frac{2}{1+4n}\\
0 & \text{, se } 0\leq x\leq \frac{2}{1+4n}
\end{cases}
\]
di modo che \(f_n\) ha \(2n\) gobbe in \([0,1]\) (con le creste e le valli all'altezza e nei punti che ti interessano) ed un tratto nullo.
Ad esempio \(f_3\) ha il grafico che segue (anche se, per motivi di approssimazione, è un po' impreciso):
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("cos((3.141)/x)", 0.1538,1); line([0,0],[0.1538,0]);[/asvg]
A questo punto hai evidentemente \(\| f_n\|_\infty =1\) per ogni \(n\) e pure:
\[
|Tf_n| = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2^k}
\]
cosicché \(\lim_n |Tf_n| =1\) e perciò \(\| T\|_* =1\).
Che poi non ci sia nessuna funzione continua che realizza l'uguaglianza in \(| T f| \leq \| f\|_\infty\) si intuisce dal fatto che, affinché l'uguaglianza sia valida, la \(f\) deve oscillare indefinitamente tra \(-1\) e \(1\) intorno a \(x=0\) e ciò non è possibile (perchè \(f\) deve essere continua in \(0\)).
L'intuizione per il secondo punto pure è buona.
Però il terzo punto no.
Per quanto riguarda il secondo punto, prendi la successione di funzioni \(f_n\) definite ponendo:
\[
f_n(x):=\begin{cases} \cos \frac{\pi}{x} & \text{, se } x\geq \frac{2}{1+4n}\\
0 & \text{, se } 0\leq x\leq \frac{2}{1+4n}
\end{cases}
\]
di modo che \(f_n\) ha \(2n\) gobbe in \([0,1]\) (con le creste e le valli all'altezza e nei punti che ti interessano) ed un tratto nullo.
Ad esempio \(f_3\) ha il grafico che segue (anche se, per motivi di approssimazione, è un po' impreciso):
[asvg]xmin=0; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes();
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("cos((3.141)/x)", 0.1538,1); line([0,0],[0.1538,0]);[/asvg]
A questo punto hai evidentemente \(\| f_n\|_\infty =1\) per ogni \(n\) e pure:
\[
|Tf_n| = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2^k}
\]
cosicché \(\lim_n |Tf_n| =1\) e perciò \(\| T\|_* =1\).
Che poi non ci sia nessuna funzione continua che realizza l'uguaglianza in \(| T f| \leq \| f\|_\infty\) si intuisce dal fatto che, affinché l'uguaglianza sia valida, la \(f\) deve oscillare indefinitamente tra \(-1\) e \(1\) intorno a \(x=0\) e ciò non è possibile (perchè \(f\) deve essere continua in \(0\)).
Il punto (i) mi sembra un po' confuso.
Più semplicemente, osservi che le serie \(\sum_n (-1)^n 2^{-n} \alpha f(1/n)\) e \(\sum_n (-1)^n 2^{-n} \beta g(1/n)\) sono (assolutamente) convergenti, dunque anche la serie somma è convergente e converge alla somma delle due serie.
La limitatezza è abbastanza evidente, in quanto
\[
|T(f)| \leq \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \| f\|_{\infty} = \| f\|_{\infty};
\]
in particolare \(\|T\| \leq 1\).
Per (ii) considera una funzione continua \(g:(0,1]\to [-1,1]\) oscillante, come quella da te definita, con la proprietà \(g(1/n) = (-1)^n\). Fissato poi \(\epsilon > 0\), definisci
\[
f(x) := \begin{cases}
(1+\epsilon)^{-1/x} g(x), &\text{se}\ x\in (0,1],\\
0, &\text{se}\ x=0.
\end{cases}
\]
La funzione \(f\) è chiaramente continua in \([0,1]\), e si ha
\[
T(f) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} (1+\epsilon)^{-n} = \frac{1}{1+2\epsilon}.
\]
Questo dimostra che \(\|T\| \geq 1/(1+2\epsilon)\) per ogni \(\epsilon > 0\); dunque, con (i), \(\|T\| = 1\).
Per il punto (iii) è corretto quanto osservi: se \((a_n)\) è una successione di numeri t.c. \(|a_n|\leq 1\) per ogni \(n\) e \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n 2^{-n} a_n = 1\), allora necessariamente \(a_n = (-1)^n\) per ogni \(n\).
Di conseguenza, se assumiamo per assurdo che esista una funzione \(f\in C([0,1])\) tale che \(\|f\|_{\infty} \leq 1\) e \(T(f) = 1\), si deve necessariamente avere \(f(1/n) = (-1)^n\). Tuttavia, in tal caso, \(f\) non è continua in \(0\), da cui l'assurdo.
Più semplicemente, osservi che le serie \(\sum_n (-1)^n 2^{-n} \alpha f(1/n)\) e \(\sum_n (-1)^n 2^{-n} \beta g(1/n)\) sono (assolutamente) convergenti, dunque anche la serie somma è convergente e converge alla somma delle due serie.
La limitatezza è abbastanza evidente, in quanto
\[
|T(f)| \leq \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} \| f\|_{\infty} = \| f\|_{\infty};
\]
in particolare \(\|T\| \leq 1\).
Per (ii) considera una funzione continua \(g:(0,1]\to [-1,1]\) oscillante, come quella da te definita, con la proprietà \(g(1/n) = (-1)^n\). Fissato poi \(\epsilon > 0\), definisci
\[
f(x) := \begin{cases}
(1+\epsilon)^{-1/x} g(x), &\text{se}\ x\in (0,1],\\
0, &\text{se}\ x=0.
\end{cases}
\]
La funzione \(f\) è chiaramente continua in \([0,1]\), e si ha
\[
T(f) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} (1+\epsilon)^{-n} = \frac{1}{1+2\epsilon}.
\]
Questo dimostra che \(\|T\| \geq 1/(1+2\epsilon)\) per ogni \(\epsilon > 0\); dunque, con (i), \(\|T\| = 1\).
Per il punto (iii) è corretto quanto osservi: se \((a_n)\) è una successione di numeri t.c. \(|a_n|\leq 1\) per ogni \(n\) e \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n 2^{-n} a_n = 1\), allora necessariamente \(a_n = (-1)^n\) per ogni \(n\).
Di conseguenza, se assumiamo per assurdo che esista una funzione \(f\in C([0,1])\) tale che \(\|f\|_{\infty} \leq 1\) e \(T(f) = 1\), si deve necessariamente avere \(f(1/n) = (-1)^n\). Tuttavia, in tal caso, \(f\) non è continua in \(0\), da cui l'assurdo.
"Rigel":
Il punto (i) mi sembra un po' confuso. [...]
Perché confuso? Probabilmente sono stato un po' criptico, ma non mi pare di aver fatto confusioni.
Quando ho provato la linearità dell'operatore ho dimostrato che la serie converge assolutamente per poterla "linearmente" riordinare senza modificarne il valore di convergenza. Una volta provata la linearità, mi sono servito della seguente proposizione:
Proposizione. Sia \(\displaystyle T:X \to Y \) lineare. Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
i) \(\displaystyle T \) è limitata;
ii) \(\displaystyle T \) è continua in \(\displaystyle 0 \);
iii) \(\displaystyle T \) è continua da \(\displaystyle X \) a \(\displaystyle Y \).
Ringrazio entrambi, gugo e Rigel, per le correzioni.
Mi riferivo a questo passaggio:
"Delirium":
\[\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \le \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \right|\]
@Rigel: Hai ragione, la disuguaglianza corretta è questa: \[\displaystyle \left| \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \right| \le \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{2^{n}} (\alpha f(1/n) + \beta g(1/n) ) \right|\]
In effetti però quello che ho scritto è un passaggio inutile visto che volevo provare la convergenza assoluta della serie.
In effetti però quello che ho scritto è un passaggio inutile visto che volevo provare la convergenza assoluta della serie.
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