[Ex] Limiti Integrali

[Noisemaker]

mi date un'occhiata a questo "limitaccio"

\begin{align*}
\lim_{k\to \infty}\frac{\displaystyle\int_1^k \left[\sqrt{x}\tan\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-1\right] dx}{\displaystyle\int_1^k \left[\sqrt{x}\log\left(\frac{2x^{\frac{3}{2}}+2x+x^{\frac{1}{2}}+1}{2x^{\frac{3}{2}}}\right)-1\right] dx}
\end{align*}
[size=85]

Cominciamo considerando il numeratore:

\begin{align*}
\lim_{k\to \infty} \displaystyle\int_1^k \sqrt{x}\tan\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-1 \,\,\, dx = \int_1^{+\infty} \sqrt{x}\tan\left( \frac{1}{\sqrt x} \right)-1\,\, dx
\end{align*}

poichè la funzione integranda è definita continua nell'intervallo $[1,+\infty),$ l'integrale risulta improprio a $+\infty;$ considerando il comportamento asintotico si ha:

\begin{align*}
\sqrt{x}\tan\left( \frac{1}{\sqrt x} \right)-1 \stackrel{\bf (T)}{\sim} \sqrt{x} \left( \frac{1}{\sqrt x} + \frac{1}{3\sqrt {x^3}}\right)-1\sim 1 + \frac{1}{3x} -1=\frac{1}{3x}\to\mbox{non converge}
\end{align*}

consideriamo ora il denominatore:

\begin{align*}
\lim_{k\to \infty} \int_1^k \sqrt{x}\log\left(\frac{2x^{\frac{3}{2}}+2x+x^{\frac{1}{2}}+1}{2x^{\frac{3}{2}}}\right)-1 \,\,dx =\int_1^{+\infty} \sqrt{x}\log\left(\frac{2x^{\frac{3}{2}}+2x+x^{\frac{1}{2}}+1}{2x^{\frac{3}{2}}}\right)-1 \,\,dx
\end{align*}

essendo l'argomento del logaritmo maggiore di zero, nell'intervallo $[1,+\infty) $ la funzione integranda risulta continua in $[1,+\infty) ,$ l'integrale risulta improprio a $+\infty;$ considerando il comportamento asintotico si ha:


\begin{align*}
\sqrt{x}\log\left(\frac{2x^{\frac{3}{2}}+2x+x^{\frac{1}{2}}+1}{2x^{\frac{3}{2}}}\right)-1&= \sqrt{x}\log\left(1+\frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 x }+\frac{1}{ 2x^{\frac{3}{2}}}\right)-1 \sim \sqrt{x}\log\left(1+\frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}} \right)-1\\
&\stackrel{\bf (T)}{\sim} x^{\frac{1}{2}} \left[ \frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2 x }+\frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}} } \right]-1= 1- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 x^2}-1\\
&=- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \to\mbox {non converge}
\end{align*}

siamo quindi difronte ad una forma indeterminata $\infty/\infty;$ applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, detta $N(x)$ una generica primitiva della funzione integrale a numeratore e $D(x)$ una generica primitiva della funzione integrale a denominatore, applicando De L'Hopital, si ha :

\begin{align*}
&\lim_{k\to \infty}\frac{\displaystyle\int_1^k \left[\sqrt{x}\tan\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)-1\right] dx}{\displaystyle\int_1^k \left[\sqrt{x}\log\left(\frac{2x^{\frac{3}{2}}+2x+x^{\frac{1}{2}}+1}{2x^{\frac{3}{2}}}\right)-1\right] dx}= \lim_{k\to \infty}\frac{N(k)-N(1)}{D(k)-D(1)}\stackrel{\bf (H)}{=} \lim_{k\to \infty}\frac{N'(k) }{D'(k) } \\
&=\lim_{k\to \infty}\frac{ \sqrt{x}\tan\left(k^{-\frac{1}{2}}\right)-1 }{ \sqrt{k}\log\left(\frac{2k^{\frac{3}{2}}+2k+k^{\frac{1}{2}}+1}{2k^{\frac{3}{2}}}\right)-1 }\stackrel{\bf (T)}{\sim} \lim_{k\to \infty}\frac{-\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}=0
\end{align*}

[/size]

[theras]

Su tutti i ragionamenti fino all'ultimo passaggio mi trovi,per quel che conta,d'accordo
(verso la fine hai fatto un pò di confusione con le variabili digitando,
ma tanto sistemerai dato che all'ineccepibilità formale si direbbe tieni molto ):
un pò meno sulle stime asintotiche che,ad occhio,andrebbero forse sistemate
(ma lo dico senza aver fatto i conti,sia chiaro..)!
Saluti dal web.

[Rigel1]

Mi sa che hai toppato lo sviluppo del logaritmo (nel primo asintotico hai buttato troppa roba). A me il limite viene \(-1/2\).

[Noisemaker]

cavolo ho proprio toppato lo sviluppo! ...tuttavia a me viene $1$ ... quindi dovrò ricontrollare i calcoli!

[Rigel1]

Ricontrolla, comunque potrebbe anche essere sbagliato il mio: ho solo buttato giù i conti per controllare che num e denom avessero lo stesso ordine, ma non sono stato molto attento ai coefficienti

[Noisemaker]

grazie controllo senz'altro

[Noisemaker]

...a me continua a venirmi $1$ ... posto i calcolacci cosi magari c'è un confronto

Numeratore:
\begin{align*}
\sqrt{x}\tan\left( \frac{1}{\sqrt x} \right)-1 \stackrel{\bf (T)}{\sim} \sqrt{x} \left( \frac{1}{\sqrt x} + \frac{1}{3\sqrt {x^3}}\right)-1\sim 1 + \frac{1}{3x} -1=\frac{1}{3x}+o\left( \frac{1}{ x } \right)
\end{align*}
denominatore:
\begin{align*}
& \sqrt{x}\log\left(1+\frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 x }+\frac{1}{ 2x^{\frac{3}{2}}}\right)-1 \\
&\stackrel{\bf (T)}{\sim} x^{\frac{1}{2}} \left[ \frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 x }+\frac{1}{ 2x^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 x }+\frac{1}{ 2x^{\frac{3}{2}}}\right)^2+\frac{1}{3}\left( \frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 x }+\frac{1}{ 2x^{\frac{3}{2}}}\right)^3 \right]-1\\
&= x^{\frac{1}{2}} \left[ \frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 x }+\frac{1}{ 2x^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{2}\left( \frac{1}{ x } +\frac{1}{ x^{\frac{3}{2}}}+o\left( \frac{1}{ x^{\frac{3}{2}}} \right)\right) +\frac{1}{3}\left( \frac{1}{ x^{\frac{3}{2}}}+o\left( \frac{1}{ x^{\frac{3}{2}}} \right) \right) \right]-1\\
&= x^{\frac{1}{2}} \left[ \frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2 x }+\frac{1}{ 2x^{\frac{3}{2}}}- \frac{1}{ 2x } -\frac{1}{ 2x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{ 3x^{\frac{3}{2}}} +o\left( \frac{1}{ x^{\frac{3}{2}}} \right) \right]-1\\
&= x^{\frac{1}{2}} \left[ \frac{1}{ x^{\frac{1}{2}}} +\frac{1}{ 3x^{\frac{3}{2}}} +o\left( \frac{1}{ x^{\frac{3}{2}}} \right) \right]-1= 1 +\frac{1}{ 3x } +o\left( \frac{1}{ x } \right) - 1\\
&= \frac{1}{ 3x } +o\left( \frac{1}{ x } \right)
\end{align*}

[Rigel1]

Probabilmente è corretto \(1\) (come ti ho detto, non avevo controllato i conti).

[Noisemaker]

....si si lo so ma io ripongo più fiducia nei tuoi interventi di quanta ne riponga nella mia capacità di fare i calcoli