[Ex] Limiti: infinitesimi e trigonometria

[Noisemaker]

Non ho il risultato ... sotto la mia soluzione

Calcolare
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n-\sin (x)\sin (2x)\sin (3x)\dots\sin (nx)}{x^{n+2}} $$

[size=85]Anzitutto scrivendolo in forma compatta abbiamo;
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n-\prod_{k=1 }^{n}\sin kx}{x^{n+2}} $$

Sappiamo che se $x\to 0$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=x\left(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\cdots\right)$$

allora la produttoria diventa:
\begin{align}\prod_{k=1 }^{n}\sin kx&=\prod_{k=1 }^{n} kx\left(1-\frac{(kx)^2}{3!}+\frac{(kx)^4}{5!}-\cdots\right)=n!x^n\prod_{k=1 }^{n} \left(1-\frac{(kx)^2}{3!}+\frac{(kx)^4}{5!}-\cdots\right)\\
&=n!x^n\prod_{k=1 }^{n}\left( 1-\frac1{3!} k^2x^2 +o(x^4) \right)\end{align}

Allora il limite diviene:
\begin{align}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n-\prod_{k=1 }^{n}\sin kx}{x^{n+2}} &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n-n!x^n\prod_{k=1 }^{n}\left( 1-\frac1{3!} k^2x^2 +o(x^4) \right)}{x^{n+2}} \\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n\left(1-\prod_{k=1 }^{n}\left( 1-\frac1{3!} k^2x^2 +o(x^4) \right)\right)}{x^{n+2}}
\end{align}


ora essendo
\begin{align} \prod_{k=1 }^{n}\left( 1-\frac1{3!} k^2x^2 +o(x^4) \right) &=\exp\left[\ln\left(\prod_{k=1 }^{n}\left( 1-\frac1{3!} k^2x^2 +o(x^4) \right) \right)\right]\\
&= \exp\left[\sum_{k=1 }^{n}\ln \left( 1-\frac1{3!} k^2x^2 +o(x^4) \right)\right]\\
&\sim \exp\left[- \frac{x^2}{3!}\sum_{k=1 }^{n} k^2 \right]\\
&\sim 1- \frac{x^2}{3!}\sum_{k=1 }^{n} k^2
\end{align}
tornando al limte:
\begin{align}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n-\prod_{k=1 }^{n}\sin kx}{x^{n+2}} &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n-n!x^n\prod_{k=1 }^{n}\left( 1-\frac1{3!} k^2x^2 +o(x^4) \right)}{x^{n+2}} \\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n\left(1-\prod_{k=1 }^{n}\left( 1-\frac1{3!} k^2x^2 +o(x^4) \right)\right)}{x^{n+2}}\\
&\sim\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n\left(1- 1+ \frac{x^2}{3!}\sum_{k=1 }^{n} k^2 \right)}{x^{n+2}}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n!x^n\left( \frac{x^2}{3!}\sum_{k=1 }^{n} k^2 \right)}{x^{n }\cdot x^2}\\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{n! \left( \frac{x^2}{3!}\sum_{k=1 }^{n} k^2 \right)}{ x^2}= n! \left( \frac{1}{3!}\sum_{k=1 }^{n} k^2 \right) \\
&=n!\frac{n(n+1)(2n+1)}{36}
\end{align}[/size]

[Rigel1]

Mi sembra ok.

[Noisemaker]

grazie Rigel per la pazienzza di aver letto!