Ex - Limite di funzione di due variabili

[Seneca1]

Dovrei risolvere il seguente limite:

$lim_( (x,y) -> (x_0 ,0) ) e^(- x^2/y )/sqrt( | y | )$ , per $x_0 != 0$.

Qualcuno ha suggerimenti? Grazie.

[Rigel1]

Mi sembra sia sufficiente distinguere i casi $y>0$ e $y<0$; il secondo è banale, per il primo basta ricordarsi qualche confronto di infiniti.

[Seneca1]

Ma quindi, per $y < 0$, il limite è $+oo$ ?

[Rigel1]

Sì (se $x_0\ne 0$).

[Seneca1]

"Rigel":Sì (se $x_0\ne 0$).

Mi si chiedeva di verificare che:

$lim_( (x,y) -> (0, 0) ) e^(- x^2/y)/sqrt( | y | )$ non esiste;

mentre per $(x, y ) -> (x_0 , 0 )$ , $x_0 != 0$, esiste e vale $0$.


Ovviamente non può aversi una cosa del genere. Il dubbio è che abbiano invertito i risultati e quindi ci sia da verificare che:

$lim_( (x,y) -> (0, 0) ) e^(- x^2/y)/sqrt( | y | ) = 0$

Però, facendo il limite lungo rami di curve del tipo $y = m x^2$ , trovo:

$lim_( x -> 0 ) e^(- 1/m)/( |x| sqrt( | m | ) ) = +oo$

Il che dovrebbe essere necessario per concludere che, se esiste, $lim_( (x,y) -> (0, 0) ) e^(- x^2/y)/sqrt( | y | ) != 0$.

Giusto?

[Rigel1]

Forse c'era $|y|$ anche nell'argomento dell'esponenziale (questo farebbe tornare quanto richiesto di dimostrare).
Nell'origine il limite non esiste; oltre alle restrizioni da te già considerate basta considerare la restrizione $y=x^4$.

[Seneca1]

"Rigel":Forse c'era $|y|$ anche nell'argomento dell'esponenziale (questo farebbe tornare quanto richiesto di dimostrare).
Nell'origine il limite non esiste; oltre alle restrizioni da te già considerate basta considerare la restrizione $y=x^4$.

Grazie Rigel. Probabilmente è un errore dell'autore.

[Seneca1]

Una domanda ulteriore:

Se provassi a calcolare il limite di $f(x,y)$ per $(x,y) -> (0,0)$ lungo cammini rettilinei del tipo $y = m x$ al variare di $m in RR$ e trovassi che il limite è uguale ad $l$ ed è indipendente da $m$, sarebbe sufficiente per concludere che il limite è $l$?

Il mio libro di testo afferma di no, ma vorrei capire perché...

[Rigel1]

Se vuoi un esempio più semplice:
\[ f(x,y) =
\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, \qquad (x,y)\neq (0,0).
\]
Verifichi subito che la restrizione ad ogni retta ha limite nullo nell'origine; tuttavia, la funzione non ammette limite nell'origine, cosa che puoi verificare subito andando a studiare le restrizione sulle parabole $y=c x^2$.

Forse un esempio ancora più significativo è il seguente:
\[
f(x,y) = \begin{cases}
1, & \text{se}\ y= x^2, x\neq 0,\\
0, & \text{altrimenti}.
\end{cases}
\]

[Seneca1]

Esempi chiarissimi, grazie ancora.