[EX] Integrale indefinito

[otta96]

Per chi sta preparando analisi 1 e vuole fare un po' di pratica sugli integrali indefiniti.
Calcolare l'integrale indefinito $\int f(x)dx$ dove $f:RR->RR$ e $f(x)=e^(-|x|)$.

[Brancaleone1]

Mmh non sono sicuro se è giusto il seguente svolgimento - dipende tutto dalla liceità del primo passaggio:

$int e^(-|x|) text(d)x=|x|/x int (x/|x| e^(-|x|)) text(d)x=$

$t=-|x|$

$text(d)t=- x/|x| text(d)x$

$=-|x|/x int e^t text(d)t=-|x|/x e^t + c =-|x|/x e^(-|x|) +c$

[dissonance]

@Brancaleone: è sbagliato. Non c'è neanche da guardare lo svolgimento, la funzione \(x\mapsto\frac{\lvert x\rvert }{x} e^{-\lvert x \rvert}\) non è derivabile in \(0\). Non può essere neanche continua, non importa quale valore tu assegni per \(x=0\).

Questo esercizio è un buon esempio per mostrare come l'integrale indefinito sia un operatore fuorviante, un vecchio arnese da abolire (IMHO). Meglio calcolare \(\int_0^x e^{-|y|}\, dy\) e poi aggiungere la costante arbitraria.

[Brancaleone1]

@dissonance: ok che è sbagliato, ma sto andando nel pallone: vedo bene che $-|x|/x e^(-|x|)$ non è continua in $0$, ma perché non è derivabile in $1$?

[dissonance]

errore di battitura

[Brancaleone1]

Ok, grazie

Ancora una cosa - do comunque per scontato che quello svolgimento sia sbagliato. Perché deve interessare che $-|x|/x e^(-|x|)$ sia derivabile in $0$? E anche senza essere continua, non potrebbe essere comunque integrabile come per altre classi di funzioni discontinue?

[dissonance]

Per definizione, il risultato di un integrale indefinito è una funzione tale che la propria derivata sia uguale alla funzione integranda. Come fa il risultato ad essere corretto se non è nemmeno derivabile?

[Brancaleone1]

Ma se provo a derivare il risultato ottengo:

$text(d)/(text(d)x) (-x/|x|e^(-|x|))=((-e^(-|x|)+|x|e^(-|x|))|x|+|x|e^(-|x|))/(|x|^2)=(|x|^2 e^(-|x|))/(|x|^2)=e^(-|x|)$

Non capisco dov'è l'errore di ragionamento

[dissonance]

È lo stesso problema dell'altro topic, tratti le funzioni come se fossero delle espressioni formali. Il risultato corretto è questo:
\[
F(x)=\begin{cases} -e^{-x} +1, & x\ge 0, \\ e^x-1, & x<0,\end{cases} +C , \]
dove \(C\in\mathbb R\) è la costante arbitraria.

[gugo82]

"dissonance":Il risultato corretto è questo:
\[
F(x)=\begin{cases} -e^{-x} +1, & x\ge 0, \\ e^x-1, & x<0,\end{cases} +C , \]
dove \(C\in\mathbb R\) è la costante arbitraria.

Ossia, in un unico rigo:
\[
F(x) := \operatorname{sign} (-x)\ \big( e^{-|x|} -1\big) + C\; ,
\]
con la convenzione:
\[
\operatorname{sign} t = \begin{cases}
1 &\text{, se } t>0\\
0 &\text{, se } t=0\\
-1 &\text{, se } t<0
\end{cases}\; .
\]

"dissonance":È lo stesso problema dell'altro topic, tratti le funzioni come se fossero delle espressioni formali.

Nel che non c'è (quasi) nulla di male quando si ricade nei casi "di ordinaria amministrazione" (i.e., funzioni definite mediante un'unica espressione analitica nel proprio dominio naturale)... Tuttavia, negli altri casi bisogna prestare più attenzione.

[Brancaleone1]

Ok, prometto che d'ora in poi, per evitare confusione, le funzioni con i valori assoluti le tratto nei loro intervalli separati
Grazie a entrambi

[anto_zoolander]

@gugo

ma se uno studente, in merito ad un problema simile, ti scrivesse:

$intf(x)dx=c+int_(0)^(x)f(x)dx$

dicendoti che tutte le primitive differiscono da questa per una costante, lo consideresti come un errore?

[Bremen000]

Io non faccio il docente, ma così mi sentirei preso in giro. E' come se a "Trovare le soluzioni della seguente equazione : \( x^2 -1 =0 \)" mi rispondessero " Le soluzioni sono gli elementi di \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2-1=0 \} \)".

[dissonance]

"Bremen000":Io non faccio il docente, ma così mi sentirei preso in giro. E' come se a "Trovare le soluzioni della seguente equazione : \( x^2 -1 =0 \)" mi rispondessero " Le soluzioni sono gli elementi di \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2-1=0 \} \)".

Magari rispondessero così, significherebbe che hanno capito cos'è un insieme. Stesso discorso con l'integrale indefinito, io ad una risposta così darei tutti i punti.

Invece di solito gli studenti scarsi si lanciano in voli pindarici di calcoli astrusi, cercando di rendere il tutto il più illeggibile possibile nella speranza di acchiappare qualche punto per sfinimento.

[anto_zoolander]

Io sono d'accordo con dissonance.
L'idea di vedere una risposta 'teorica' ben giustificata a me piacerebbe, ma chiaramente il mio parere è da studente e quindi di parte

[gugo82]

"anto_zoolander":@gugo

ma se uno studente, in merito ad un problema simile, ti scrivesse:

$intf(x)dx=c+int_(0)^(x)f(x)dx$

dicendoti che tutte le primitive differiscono da questa per una costante, lo consideresti come un errore?

Dipende dalla domanda.

Se la domanda posta fosse:

- Mi calcoli le primitive di $f(x)=e^(-|x|)$ -

alla risposta che proponi seguirebbe un mio:

- A patto di cambiare nome alla variabile di integrazione, è giusto. Dopotutto questo è il senso del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale[nota]Sì, anche quando parlo si sente che uso il corsivo! [/nota]... Ora, per favore, mi calcoli quell'integrale definito -

Per la serie: "Ciurla nel manico quanto vuoi, tanto io resto qui..."

[dissonance]

Uuuhh è vero, \(\int_0^x f(x)\, dx\) è sbagliato. Allora, anto_zoolander, bocciato.

Quanto al corsivo, io l'ho sempre sospettato, che parli in corsivo. Vero!

[anto_zoolander]

Scusate $int_(0)^(x)f(t)dt$

Comunque perfetto, era per parlarne