[EX] Integrale...

[dan952]

Calcolare

$\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-7x}dx$

[gugo82]

Sicuro si faccia con tecniche "di base"?

[dan952]

Non ho provato solo con metodi standard e non credo ci si riesca. Non bisogna comunque avere conoscenze di analisi superiore, forse il passaggio che richiede qualche accortezza in più è quando si scambia derivata e integrale, per il resto è standard. Questo è un esempio di problema che mostra come a volte generalizzare è meglio di risolvere casi particolari.

[feddy]

Mmm... chiedo in spoiler una possibile strategia..

potrei provare a scrivere il prodotto di $sin(x)/x * e^(-7x)$ come serie visto che conosco i loro sviluppi di Taylor in 0 e sfruttare l'integrazione per serie $ int sum_k g_k(x)dx=sum_k intg_k(x)dx $ dove $g_k$ è l'espressione dello sviluppo. Solo che per l'integrazione per serie dovrei mostrare che la convergenza uniforme...

edit: dopo la risposta di gugo non sono sicuro ce la mia sia una strada corretta...

[gugo82]

@feddy: Prova...

Sinceramente lo sviluppo in serie non mi era venuto in mente.

[pilloeffe]

Ciao dan95,

In realtà c'è più di un metodo per risolvere la questione, tra i quali anche alcuni non proprio "di base"...
Se nessuno risponde magari tra un po' posto una soluzione non "di base", così lascio quella "di base" a chiunque volesse provarci. Un suggerimento su un metodo "di base" in spoiler.

Generalizzando il discorso, si consideri la funzione $F(t) := \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-tx}dx$.
$\AA t > 0, e^{−tx}\frac{\sin x}{x}$ è una funzione integrabile su $(0, +\infty)$, limitata in valore assoluto dalla funzione integrabile $e^{-tx}$. Per il teorema della convergenza dominata segue che si può derivare $F(t)$ sotto il segno di integrale...
Dopo qualche calcolo, alla fine si ottiene $F(t) := \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-tx}dx = arctan(frac{1}{t})$, dalla quale poi è semplice ottenere il caso particolare in cui $t = 7$.

[pilloeffe]

Anche questa non è male...

Generalizzando il discorso, si consideri la funzione $F(t) := \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-tx}dx$. Si ha:
$F(t) := \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-tx}dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x} d\omega dx$
$\AA t > 0, e^{−tx}\frac{\sin x}{x}$ è una funzione integrabile su $(0, +\infty)$, limitata in valore assoluto dalla funzione integrabile $e^{-tx}$. Per il teorema della convergenza dominata segue che si possono scambiare i due segni di integrale, per cui si ha:
$F(t) := \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-tx}dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} e^{-i\omega x} d\omega dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \int_{0}^{+\infty} e^{-(t + i\omega)x} dx d\omega = $
$ = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} frac{1}{t + i\omega} d\omega = \int_{0}^{1} frac{t}{t^2 + \omega^2} d\omega = \int_{0}^{1/t} frac{1}{1 + y^2} dy = arctan(frac{1}{t})$
dalla quale poi è semplice ottenere il caso particolare in cui $t = 7$.

[pilloeffe]

... E tre:

Generalizzando il discorso, si consideri la funzione $F(t) := \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-tx}dx$
$\AA t > 0, e^{−tx}\frac{\sin x}{x}$ è una funzione integrabile su $(0,+\infty)$, limitata in valore assoluto dalla funzione integrabile $e^{−tx}$. Si osservi che la funzione $F(t)$ può essere riguardata come la trasformata di Laplace della funzione $frac{sin(x)}{x}$:

$F(t) = \mathcal{L} [frac{sin(x)}{x}] = \int_{t}^{+\infty} frac{1}{1 + s^2}ds = [arctan(s)]_t^{+\infty} = frac{\pi}{2} - arctan(t) = arctan(frac{1}{t})$

dalla quale poi è semplice ottenere il caso particolare in cui $t = 7$.
Si osservi per inciso che la funzione $F(t)$ può essere proficuamente utilizzata anche per ottenere il valore di un ben noto integrale, infatti si ha:

$lim_{t \to 0^+} F(t) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = frac{\pi}{2} $

[pilloeffe]

Poi però basta eh, promesso... Stavolta seguo l'idea di feddy.

Generalizzando il discorso, si consideri la funzione $F(t) := \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x}e^{-tx}dx = \int_{0}^{+\infty} \sum_{k = 0}^{+infty} (-1)^k frac{x^{2k}}{(2k + 1)!}e^{-tx}dx$
$\AA t > 0, e^{−tx}\frac{\sin x}{x}$ è una funzione integrabile su $(0,+\infty)$, limitata in valore assoluto dalla funzione integrabile $e^{−tx}$. Per il teorema della convergenza dominata segue che si può scambiare il segno di serie con quello di integrale e si ha:

$F(t) = \int_{0}^{+\infty} \sum_{k = 0}^{+infty} (-1)^k frac{x^{2k}}{(2k + 1)!}e^{-tx}dx = \sum_{k = 0}^{+infty} frac{(-1)^k}{(2k + 1)!} \int_{0}^{+\infty} x^{2k} e^{-tx}dx = $
$ = \sum_{k = 0}^{+infty} frac{(-1)^k}{(2k + 1)!} frac{\Gamma(2k + 1)}{t^{2k + 1}} = \sum_{k = 0}^{+infty} frac{(-1)^k}{(2k + 1)!} frac{(2k)!}{t^{2k + 1}} = \sum_{k = 0}^{+infty} (-1)^k frac{(t^{-1})^{2k + 1}}{2k + 1} = arctan(frac{1}{t})$

dalla quale poi è semplice ottenere il caso particolare in cui $t = 7$.