[EX] - Funzioni periodiche

[Plepp]

Esercizio. Sia $f:RR\to RR$ continua e $T$-periodica. Provare che $\exists x_0\in RR$ tale che $f(x_0+ T/2)=f(x_0)$.

Io ho risolto così. Considero il compatto $[0,T]$. Poichè $f|_{ \text{[} 0, T \text{]} }$ è continua, per Weiestrass $\exists x_m,x_M\in [0,T]$ tali che $\forall x\in[0,T],\ \forall k \in \mathbb{Z}, $
\[ f(x_m)\le f(x)=f(x+kT)\le f(x_M) \tag{1}\]
In altre parole, la $(1)$ è valida per ogni $x\in RR$. Definisco dunque l'applicazione $\varphi : [0,T]\to RR$ ponendo
\[\varphi(x):=f(x+T/2)-f(x)\qquad \forall x\in [0, T]\]
Si ha
\[\begin{split}
\varphi(x_m)&=f(x_m+T/2)-f(x_m)\ge 0\\
\varphi(x_M)&=f(x_M+T/2)-f(x_M)\le 0
\end{split}
\tag{2}
\]
Se $\varphi(x_m)=0 $ o $\varphi(x_M)=0$ si ha la tesi. Suppongo quindi $\varphi(x_m)\ne 0$ e $\varphi(x_M)\ne 0$, da cui, per la $(2)$, $\varphi(x_M)<0$ e $\varphi(x_m)>0$. Dal momento che, evidentemente, $\varphi$ è continua, per il Teorema degli zeri $\exists x_0\in (\min\{x_m,x_M\},\max\{x_m,x_M\})$ tale che $\varphi(x_0)=f(x_0+T/2)-f(x_0)=0$, come si voleva.

Che dite?

[Rigel1]

Direi che va bene.
In alternativa, supponiamo per assurdo che \(\varphi(x) \neq 0\) per ogni \(x\in [0,T/2]\). Poiché \(\varphi\) è continua, ciò significa che o \(\varphi < 0\) oppure \(\varphi > 0\) su tutto l'intervallo. D'altra parte questo è in contraddizione col fatto che
\[
\varphi(0) + \varphi(T/2) = f(T) - f(0) = 0.
\]

[Plepp]

Forse così è più elegante Grazie Rigel