[EX] Funzioni convesse

[Noisemaker]

ho abbozzato una soluzione a questo problema.... spero vada bene!

$\mbox{Sia}$ $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $\mbox{una funzione derivabile che si annulla in tre punti distinti
(e non più di tre). Dimostrare che}$ $f$ $\mbox{non è convessa.}$

Soluzione

Supponiamo per assurdo che $f$ sia convessa. Siano $x_1 < x_2 < x_3$ i tre punti in cui si annulla $f.$ La retta tangente al grafico di $f$ nel punto $x_2$ ha equazione
\begin{align*}y = m(x − x_2) ,\quad\mbox{con}\quad m = f'(x_2).\end{align*}
Siccome la funzione è convessa il grafico della funzione deve trovarsi al di sopra della retta tangente in $x_2$ cioè \begin{align*}f(x)\ge m(x − x_2)\quad\mbox{ per ogni }\quad x\in\mathbb{R} ;\end{align*}
in particolare questo deve essere vero per $x = x_1$ e per $x = x_3.$ Otteniamo dunque
\begin{align*}0 = f(x_1) \ge m(x_1 − x_2) \qquad 0 = f(x_3)\ge m(x_3 − x_2)\end{align*}
da cui si ottiene
\begin{align*}f'(x_2) = m = 0.\end{align*}
Dunque per ogni $x$ si ha $f(x)\ge  0.$ D’altra parte essendo $f$ convessa, $f'(x)$ deve essere crescente e sapendo che $f'(x_2) = 0$ si ha
\begin{align*}f'(x)\ge  0,\quad\forall x\ge  x_2.\end{align*}
Dunque la funzione $f $ è crescente per $x\ge x_2$ e quindi
\begin{align*}f(x)\le f(x_3),\qquad\mbox{ per}\qquad x _2 \in[x_2, x_3].\end{align*} Dunque abbiamo ottenuto che
$f(x) = 0$ per ogni $x_2\in [x_2, x_3]$ che contraddice l’ipotesi per cui $f$ non si annulla in più di tre punti, e quindi la funzione non può essere convessa.

[Rigel1]

Ok.

[Noisemaker]

"Rigel":Ok.

... grazie per aver letto! ...senz'altro sarà stato un problema semplice, ed è il motivo per cui mi è venuto gisuto, perchè di solito questo tipo di problemi non li imbrocco!!!

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