[EX] - Funzione selvaggia "ovunque surgettiva"

[Plepp]

Buonasera ragazzi. Sto cercando di rispondere a questa domanda:

Esiste una funzione $f:RR\to RR$ tale che per ogni intervallo $I\subseteq RR$ si abbia $f(I)=RR$?

Inizialmente ho cercato qualche contraddizione che potesse derivare dall'ammettere l'esistenza di una [size=85]porcheria[/size] del genere, ma dopo qualche insuccesso m'è venuto in mente quanto sto per scrivere. Metto in spoiler per dare la possibilità di cimentarsi a chi lo desidera

Su $RR$ definisco la relazione ~ ponendo
\[\forall x,y\in \mathbb{R},\qquad x\sim y \stackrel{\text{def}}{\iff}x-y\in\mathbb{Q}\]
Si tratta di una relazione d'equivalenza (le cui classi altro non sono che i laterali di $QQ$ in $RR$, pensato come gruppo additivo). Ciascuna classe è numerabile, essendo equipotente a $QQ$; inoltre, il quoziente $RR"/"QQ$ è più che numerabile (se fosse numerabile, $RR$, unione disgiunta delle classi laterali, sarebbe unione numerabile di insiemi numerabili, dunque numerabile).

Fatte queste osservazioni, definisco l'applicazione $\pi : RR \to RR"/" QQ$ che manda ciascun $x\in RR$ nella propria classe d'equivalenza.
Sappiamo bene che è surgettiva; il bello è che, per la densità di $QQ$ in $RR$, ogni restrizione $\pi|_I$ (con $I=(a,b)\subseteq RR$ intervallo) è surgettiva (per ogni $[x]\in RR"/"QQ$, esiste $\xi\in I$ tale che $\pi_I(\xi)=[x]$; infatti, in breve, l'intervallo $(a-x,b-x)$ contiene infiniti numeri razionali, e detto $q$ uno di essi, questo sarà del tipo $\xi-x$, con $\xi \in (a,b)$, dunque sarà $\xi -x=q\in QQ$, cioè $[\xi ]=[x]=\pi_I(\xi)$).

A questo punto... accettare l'ipotesi del continuo mi farebbe molto comodo Vorrei definire $f$ come
\[f:=b\circ \pi\]
ove $b$ sarebbe una ipotetica bigezione tra il quoziente $RR"\"QQ$ e $RR$, bigezione che, se esistesse, "donerebbe" alla funzione che ho definito la proprietà richiesta nel quesito.

Il problema: dovrei dimostrare che l'unione di un'infinità continua di insiemi numerabili ha la potenza del continuo. Non m'è venuto davvero nulla in mente Posso continuare a sfasciarmi la testa o dimostrare una roba del genere richiede conoscenze di Teoria degli Insiemi più approfondite di quelle naìff che può avere uno studentello del secondo anno (quale sono)?

[Zero87]

La sparo davvero grossa, ma se ci azzecco...

Considero $I=[a,b]$ con $a,b \in \RR$ e $b>a$: in generale l'intervallo lo prendo non nullo.
$f(x)=tan(\pi \frac{x-a}{b-a}-pi/2)$

Nota matematico-maccheronica
-per $x=a$ otteniamo $tan(-\pi/2)$
-per $x=b$ otteniamo $tan(\pi/2)$
... per il teorema dei valori intermedi assume tutti i valori che vanno da $-\infty$ a $\infty$...

[Rigel1]

Un esempio lo trovi qui.

[Plepp]

Ciao ragazzi!

"Zero87":Considero $I=[a,b]$ con $a,b \in \RR$ e $b>a$

$f(x)=tan(\pi \frac{x-a}{b-a}-pi/2)$
[...]
... per il teorema dei valori intermedi assume tutti i valori che vanno da $-\infty$ a $\infty$...

Ma funziona solo nell'intervallo che hai fissato Per esempio, per $J:=[a/2,b/2]$ non hai più $f(J)=RR$.

@Rigel: grazie mille, ci do un'occhiata, anche se l'inglese ce l'ho proprio sullo stomaco

Comunque, ribadisco la mia richiesta:

"Plepp":
Il problema: dovrei dimostrare che l'unione di un'infinità continua di insiemi numerabili ha la potenza del continuo. Non m'è venuto davvero nulla in mente Posso continuare a sfasciarmi la testa o dimostrare una roba del genere richiede conoscenze di Teoria degli Insiemi più approfondite di quelle naìff che può avere uno studentello del secondo anno (quale sono)?

[Zero87]

"Plepp":Ma funziona solo nell'intervallo che hai fissato Per esempio, per $J:=[a/2,b/2]$ non hai più $f(J)=RR$.

Avevo pensato a $[a,b]$ in generale, in pratica la mia funzione variava al variare dell'intervallo e non credo che vada tanto bene ripensandoci su.
In questo caso sarebbe
$f(x)=tan(\pi \frac{x-a/2}{b/2-a/2}-pi/2)$
tanto per capirci.

Per quanto riguarda l'altra questione non so risponderti, per questo non ho risposto.