Ex funzione lipschitziana

[sely1]

Ciao,
devo dimostrare che la funzione $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ data da
$ F(x) = \frac{1}{1+|x|^2} $
sia lipschitziana in $\mathbb{R}^n$.
Io risolverei l'esercizio ricordando che il valore assoluto è una funzione globalmente lipschitziana e che la composizione di funzioni lipschitziane è lipschitziana. Scriverei dunque la mia funzione come $ F = g \circ f$ dove
$ f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \ t.c. \ f(x) = |x|$
e $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ t.c.\ g(x) = \frac{1}{1+x^2} $
A questo punto so che f è lipschitziana e mi rimane da verificare la lipschitzianità di g. Osservando che la derivata di g è limitata posso concludere che g è lipschitziana.
Quindi F è lipschitziana in $\mathbb{R}^n$.
Il mio ragionamento può funzionare? Non mi sembra nulla di troppo difficile ma non trovo nessun esempio tra i miei libri/appunti che utilizzi questa strada....
Grazie a tutti!

[dissonance]

Ok. Occhio che su $RR^n$ di solito non si dice "valore assoluto". (Invece si dice "modulo", "norma", "lunghezza", cose così. Fosse per me direi "valore assoluto" pure in $RR^n$, ma le consuetudini sono diverse).

[sely1]

D'accordo!
Grazie mille per l'attenzione