[EX] - Funzione caratteristica sui razionali come limite
In questo momento di ozio post-esami vorrei proporre il seguente esercizio:
Provare che \[\chi_{\mathbb{Q}}(x)=\lim_{n \to \infty} \left[ \lim_{m \to \infty} (\cos(n! \pi x ))^{2m} \right] \]
ove \(\chi_{\mathbb{Q}}(x)\) è la funzione caratteristica sui razionali, cioè tale che \[\chi_{\mathbb{Q}}(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \]
Sarei lieto anche se qualcuno volesse confermare la correttezza (o meno) del mio procedimento in spoiler.
Provare che \[\chi_{\mathbb{Q}}(x)=\lim_{n \to \infty} \left[ \lim_{m \to \infty} (\cos(n! \pi x ))^{2m} \right] \]
ove \(\chi_{\mathbb{Q}}(x)\) è la funzione caratteristica sui razionali, cioè tale che \[\chi_{\mathbb{Q}}(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{se } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \]
Sarei lieto anche se qualcuno volesse confermare la correttezza (o meno) del mio procedimento in spoiler.
Risposte
Il procedimento mi sembra corretto.
(Forse eviterei di scrivere \(\lim_n D_n\) per non dover essere costretto a fornire una nozione di convergenza per una successione di insiemi.)
(Forse eviterei di scrivere \(\lim_n D_n\) per non dover essere costretto a fornire una nozione di convergenza per una successione di insiemi.)
Grazie per il controllo!
Verissimo. Si tratta solo di una scrittura antipatica, oppure ti serviresti di una "scorciatoia"?
"Rigel":
[...] (Forse eviterei di scrivere \(\lim_n D_n\) per non dover essere costretto a fornire una nozione di convergenza per una successione di insiemi.)
Verissimo. Si tratta solo di una scrittura antipatica, oppure ti serviresti di una "scorciatoia"?
Poiché è sufficiente osservare che \(\bigcup_n D_n = \mathbb{Q}\), io non scriverei quel limite.
In ogni caso, le nozioni di limite, liminf e limsup di insiemi sono comunemente usate in teoria della misura; nel caso in esame (successione monotona di insiemi) si ha \(\lim_n D_n = \bigcup_n D_n\), quindi ciò che hai scritto è corretto (ma se lo scrivi poi devi anche essere in grado di motivare la scrittura
).
In ogni caso, le nozioni di limite, liminf e limsup di insiemi sono comunemente usate in teoria della misura; nel caso in esame (successione monotona di insiemi) si ha \(\lim_n D_n = \bigcup_n D_n\), quindi ciò che hai scritto è corretto (ma se lo scrivi poi devi anche essere in grado di motivare la scrittura
).
Capito. Di Teoria della Misura non ne ho ancora vista, ma avevo visto qualcosa del genere in Topologia, e memore di ciò sono andato a verificare qui se quanto andassi dicendo fosse giusto o meno.
Ti ringrazio!
Ti ringrazio!
"Delirium":
...sono andato a verificare qui se quanto andassi dicendo fosse giusto o meno.
Esatto; è proprio ciò a cui mi riferivo.
Ad ogni modo non vedo perché usare \(D_n\)... 
Infatti, se \(x=p/q\) è r.m.t., allora per ogni \(n\geq q\) il numero \(n!\) è un multiplo di \(q\) e da ciò segue:
\[
\cos (n! \pi x) = \pm 1
\]
per ogni \(n\geq q\); perciò \(\cos^{2m} (n! \pi x) = 1 \) per ogni \(x\in \mathbb{Q}\), \(n\geq q\) ed \(m\in \mathbb{N}\) sicché \(\lim_n \lim_m \cos^{2m} (n! \pi x) = 1 \).
D'altra parte, se \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) si ha \(|\cos (n!\ \pi x)|<1\) per ogni \(n\), ergo \(\lim_m \cos^{2m} (n!\ \pi x) =0\) per ogni \(n\) e dunque \(\lim_n \lim_m \cos^{2m} (n!\ \pi x) =0\).
Infatti, se \(x=p/q\) è r.m.t., allora per ogni \(n\geq q\) il numero \(n!\) è un multiplo di \(q\) e da ciò segue:
\[
\cos (n! \pi x) = \pm 1
\]
per ogni \(n\geq q\); perciò \(\cos^{2m} (n! \pi x) = 1 \) per ogni \(x\in \mathbb{Q}\), \(n\geq q\) ed \(m\in \mathbb{N}\) sicché \(\lim_n \lim_m \cos^{2m} (n! \pi x) = 1 \).
D'altra parte, se \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) si ha \(|\cos (n!\ \pi x)|<1\) per ogni \(n\), ergo \(\lim_m \cos^{2m} (n!\ \pi x) =0\) per ogni \(n\) e dunque \(\lim_n \lim_m \cos^{2m} (n!\ \pi x) =0\).
Beh, da un punto di vista logico è la stessa cosa; semplicemente Delirium ha preferito codificare il "definitivamente" (che tu hai scritto con \(n\geq q\)) con quegli insiemi \(D_n\), per poi farne l'unione. L'economia notazionale porterebbe a non introdurli, ma tutto sommato il loro eventuale utilizzo, nello svolgimento di un compito, mostrerebbe che lo studente ha capito l'esercizio (spesso i doppi limiti generano una certa confusione).
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