[EX] Esercizietto teorico (Analisi 1)

[Seneca1]

Esercizio: Sia $f : RR -> RR$ una funzione derivabile due volte tale che $f(-1) + f(1) = 2 f(0)$.
Si provi l'esistenza di un punto $xi$ tale che $f''(xi) = 0$.


Dedicato principalmente a coloro i quali hanno sostenuto (o stanno per sostenere) l'esame di Analisi 1.

[theras]

Osserviamo che,dalla prima ipotesi,deduciamo subito che $(f(1)-f(0))/(1-0)=(f(0)-f(-1))/([0-(-1)])$;
applicando allora il teorema di Lagrange(nelle cui ipotesi rientriamo abbondantemente,in quelle date..)
alle due restrizioni di f a,rispettivamente,$[0,1]$ e $[-1,0]$,
deduciamo allora che $EEphi in (0,1),varphi in(-1,0)$ $t.c.$ $f'(phi)$($=(f(1)-f(0))/(1-0)=(f(0)-f(-1))/([0-(-1)])$)$=f'(varphi)$:
la tesi consegue allora dall'invocazione del teorema di Rolle
(nelle cui ipotesi,ancora una volta,abbondantemente ci ritroviamo..)
per la restrizione di $f'$ all'intervallo individuato da $phi$ e $varphi$
(ben definito perchè questi ultimi non possono coincidere..)!

Grazie dell'occasione di "spolveramento":
saluti dal web.