[ex] due successioni
Avete un suggerimento per calcolare il limite di queste due successioni?
1) $ lim_(n -> +oo)n^2 log((n+4)/(n^(5/2)-1)) $ [$-oo$ secondo Geogebra]
2) $ lim_(n -> +oo) root(n)((n^n) / (n!)) =e $
La seconda l'ho presa per caso da http://www1.mat.uniroma1.it/people/cras ... isiMat.pdf: siccome gli altri esercizi di questo foglio non sono in grado di farli, se la successione (2) si può calcolare con mezzi "elementari" (con i limiti notevoli), ok, altrimenti niente (lo dico per non farvi eventualmente perdere tempo).
1) $ lim_(n -> +oo)n^2 log((n+4)/(n^(5/2)-1)) $ [$-oo$ secondo Geogebra]
2) $ lim_(n -> +oo) root(n)((n^n) / (n!)) =e $
La seconda l'ho presa per caso da http://www1.mat.uniroma1.it/people/cras ... isiMat.pdf: siccome gli altri esercizi di questo foglio non sono in grado di farli, se la successione (2) si può calcolare con mezzi "elementari" (con i limiti notevoli), ok, altrimenti niente (lo dico per non farvi eventualmente perdere tempo).
Risposte
Ciao. La seconda puó derivare dal fatto che $\sum frac{x^k}{k!}=e^x$, ma non sono limiti elementari...
La prima la scrivi come $frac{log(n+4)-log(n^{5/2}-1)}{x^{-2}}$ e poi derivi num e den separatamente...
La prima la scrivi come $frac{log(n+4)-log(n^{5/2}-1)}{x^{-2}}$ e poi derivi num e den separatamente...
Grazie Kobeilprofeta 
L'Hopital? Si può usare anche per le successioni? Se sì, è per il teorema ponte, o non c'entrano niente le due cose?
"kobeilprofeta":
Ciao. La seconda puó derivare dal fatto che $ \sum frac{x^k}{k!}=e^x $, ma non sono limiti elementari...
ci provo!
La prima la scrivi come $ frac{log(n+4)-log(n^{5/2}-1)}{x^{-2}} $ e poi derivi num e den separatamente...
L'Hopital? Si può usare anche per le successioni? Se sì, è per il teorema ponte, o non c'entrano niente le due cose?
Per il primo osserva che
\begin{align}
\lim_{n} n^2 \ln\left(\frac{n+4}{n^{5/2}-1}\right)&\sim\lim_{n} n^2 \ln\left(\frac{n }{n^{5/2} }\right)=\lim_{n} n^2 \ln\left(\frac{1 }{n^{3/2} }\right)=(+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty;
\end{align}
per il secondo
\begin{align}
\lim_{n} \sqrt[n]{\frac{n^n }{n!}} =\lim_{n} \exp\left[\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)\right] =\lim_{n} \exp\left[\frac{n\ln n-\ln n!}{n}\ \right]
\end{align}
utilizzando ora l'approssimazione del fattoriale seguente:
\begin{align}
\ln n!=n\ln n-n +o\left(\frac{1}{n}\right),
\end{align}
il limite diviene
\begin{align}
\lim_{n} \exp\left[\frac{n\ln n-\ln n!}{n}\ \right] \sim \lim_{n} \exp\left[\frac{n\ln n-n\ln n+n +o\left(1/n\right)}{n}\ \right] =e.
\end{align}
\begin{align}
\lim_{n} n^2 \ln\left(\frac{n+4}{n^{5/2}-1}\right)&\sim\lim_{n} n^2 \ln\left(\frac{n }{n^{5/2} }\right)=\lim_{n} n^2 \ln\left(\frac{1 }{n^{3/2} }\right)=(+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty;
\end{align}
per il secondo
\begin{align}
\lim_{n} \sqrt[n]{\frac{n^n }{n!}} =\lim_{n} \exp\left[\frac{1}{n}\ln\left(\frac{n^n}{n!}\right)\right] =\lim_{n} \exp\left[\frac{n\ln n-\ln n!}{n}\ \right]
\end{align}
utilizzando ora l'approssimazione del fattoriale seguente:
\begin{align}
\ln n!=n\ln n-n +o\left(\frac{1}{n}\right),
\end{align}
il limite diviene
\begin{align}
\lim_{n} \exp\left[\frac{n\ln n-\ln n!}{n}\ \right] \sim \lim_{n} \exp\left[\frac{n\ln n-n\ln n+n +o\left(1/n\right)}{n}\ \right] =e.
\end{align}
Gentilissimo 
Il primo era facile, sigh, non mi era venuto in mente di eliminare il termine "ininfluente". Il secondo ora me lo vedo con calma.
Il primo era facile, sigh, non mi era venuto in mente di eliminare il termine "ininfluente". Il secondo ora me lo vedo con calma.
"jitter":
Grazie Kobeilprofeta
ci provo!
La prima la scrivi come $ frac{log(n+4)-log(n^{5/2}-1)}{x^{-2}} $ e poi derivi num e den separatamente...
L'Hopital? Si può usare anche per le successioni? Se sì, è per il teorema ponte, o non c'entrano niente le due cose?[/quote]
Tecnicamente è la stessa cosa, arrivi allo stesso risultato... Ma non sono sicuro che si possa effettivamente usare.
Il problema con De l'Hopital non riguarda tanto il fatto che una successione è definita su $\mathbb{N},$ essendo $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}.$ Il problema è che De l'Hopital richiede la derivabilità delle funzioni cui si applica.
Per il secondo esercizio:
guardando il foglio che hai linkato si evince che probabilmente l'Ex.2 è pensato per essere svolto utilizzando il criterio illustrato nell'Ex.1 del medesimo foglio.
guardando il foglio che hai linkato si evince che probabilmente l'Ex.2 è pensato per essere svolto utilizzando il criterio illustrato nell'Ex.1 del medesimo foglio.
Sull'esercizio 1 di quel foglio, non mi ė chiaro cosa si indica con inf $x_(n+1)/x_n$. Non penso l'estremo inferiore della successione delle frazioni $ x_(n+1)/x_n$, perché non mi sembra esistere necessariamente...
Usa questo risultato:
se \((a_n)\) è una successione a valori positivi, ed esiste
\[
\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}\,,
\]
allora esiste anche \(\lim_n \sqrt[n]{a_n}\) e i due limiti sono uguali.
se \((a_n)\) è una successione a valori positivi, ed esiste
\[
\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}\,,
\]
allora esiste anche \(\lim_n \sqrt[n]{a_n}\) e i due limiti sono uguali.
"Rigel":
Usa questo risultato:
se \( (a_n) \) è una successione a valori positivi, ed esiste
\[ \lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n}\,, \]
allora esiste anche \( \lim_n \sqrt[n]{a_n} \) e i due limiti sono uguali.
... allora calcolo $ lim_(n -> oo)a_(n+1)/a_n = lim_(n -> +oo)((n+1)^(n+1)/((n+1)!)) /(n^n/(n!) $ = (...) = $ (1 + 1/n)^n=e = lim_(n -> oo)(n^n/(n!))^(1/n) $
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