[EX] Due simpatiche decomposizioni
Un semplice esercizio per chi studia Analisi I.
Si risolve con un po' di intuito e nulla più.
***
Esercizio:
1. Sia [tex]$f:[a,b] \to \mathbb{R}$[/tex].
Dimostrare che esistono almeno due funzioni [tex]$u,v:[a,b]\to [0,+\infty[$[/tex] (quindi funzioni non negative) tali che:
[tex]$f(x)=u(x)-v(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [a,b]$[/tex].
Dimostrare che tali funzioni, in generale, non sono uniche (basta un controesempio).
2. Sia [tex]$f:[-a,a] \to \mathbb{R}$[/tex], con [tex]$a>0$[/tex].
Dimostrare che esistono due funzioni [tex]$g,h:[-a,a]\to \mathbb{R}$[/tex] con [tex]$g$[/tex] dispari ed [tex]$h$[/tex] pari tali che:
[tex]$f(x)=g(x)+h(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [-a,a]$[/tex].
Dimostrare che tali due funzioni sono uniche.
P.S.: La compattezza degli intervalli base in 1 e 2 non è necessaria, ovviamente.
In 1 l'intervallo \([a,b]\) può essere sosstituito con un generico intervallo \(I\) o, addirittura, con un qualsiasi sottoinsieme \(X\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto.
Invece, in 2, è necessario mantenere la simmetria dell'intervallo in cui è definita \(f\). Pertanto \([-a,a]\) può essere sostituito con \(]-a,a[\) (ed anche, al limite, con tutto \(\mathbb{R}\)) o, più in generale, con un qualsiasi insieme non vuoto \(X\subseteq \mathbb{R}\) che gode della proprietà \(-X\subseteq X\).
Si risolve con un po' di intuito e nulla più.
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Esercizio:
1. Sia [tex]$f:[a,b] \to \mathbb{R}$[/tex].
Dimostrare che esistono almeno due funzioni [tex]$u,v:[a,b]\to [0,+\infty[$[/tex] (quindi funzioni non negative) tali che:
[tex]$f(x)=u(x)-v(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [a,b]$[/tex].
Dimostrare che tali funzioni, in generale, non sono uniche (basta un controesempio).
2. Sia [tex]$f:[-a,a] \to \mathbb{R}$[/tex], con [tex]$a>0$[/tex].
Dimostrare che esistono due funzioni [tex]$g,h:[-a,a]\to \mathbb{R}$[/tex] con [tex]$g$[/tex] dispari ed [tex]$h$[/tex] pari tali che:
[tex]$f(x)=g(x)+h(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [-a,a]$[/tex].
Dimostrare che tali due funzioni sono uniche.
P.S.: La compattezza degli intervalli base in 1 e 2 non è necessaria, ovviamente.
In 1 l'intervallo \([a,b]\) può essere sosstituito con un generico intervallo \(I\) o, addirittura, con un qualsiasi sottoinsieme \(X\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto.
Invece, in 2, è necessario mantenere la simmetria dell'intervallo in cui è definita \(f\). Pertanto \([-a,a]\) può essere sostituito con \(]-a,a[\) (ed anche, al limite, con tutto \(\mathbb{R}\)) o, più in generale, con un qualsiasi insieme non vuoto \(X\subseteq \mathbb{R}\) che gode della proprietà \(-X\subseteq X\).
Risposte
Rispondo velocemente:
Gugo, sappi che se ricevi delle maledizioni, è perché mi hai dato l'idea per un paio di esercizi da far fare oggi ai miei studenti!
Gugo, sappi che se ricevi delle maledizioni, è perché mi hai dato l'idea per un paio di esercizi da far fare oggi ai miei studenti!
Ma il ragionamento di ciampax per la prima dimostra anche che sono uniche...o sbaglio?
"alle.fabbri":Osservazione non peregrina. ciampax potrebbe fare un "sequel" chiedendo ai suoi studenti di confutare questa osservazione. Secondo me ne verrebbe fuori una lezioncina istruttiva
Ma il ragionamento di ciampax per la prima dimostra anche che sono uniche...o sbaglio?
"alle.fabbri":
Ma il ragionamento di ciampax per la prima dimostra anche che sono uniche...o sbaglio?
Ma anche no...
Quella non è l'unica decomposizione possibile in generale: un controesempio viene facile facile (basta pensare alle funzioni più semplici possibili).
@Fioravante: ci stavo seriamente pensando, ma ho paura di ritrovarmi con 50 cadaveri in aula!
@Gugo/alle.fabbri. ovvio che la mia dimostrazione non dà unicità. Anzi, basterebbe metterci un po' di coefficienti qua e là, e ne troveresti un bel po' di possibili funzioni.
@Gugo/alle.fabbri. ovvio che la mia dimostrazione non dà unicità. Anzi, basterebbe metterci un po' di coefficienti qua e là, e ne troveresti un bel po' di possibili funzioni.
Funzioni parte positiva e parte negativa? ( Forse è troppo scontata come cosa )
)
"pater46":
Funzioni parte positiva e parte negativa? ( Forse è troppo scontata come cosa
Non è scontata, ma è già stata data in precedenza. Da chi? E come?
Per l'altra invece sceglierei
@ciampax: Bravo studentello!
A quando l'unicità?
A quando l'unicità?
"gugo82":
@ciampax: Bravo studentello!
A quando l'unicità?
Quanto mi dai?
"gugo82":
[quote="pater46"]Funzioni parte positiva e parte negativa? ( Forse è troppo scontata come cosa
Non è scontata, ma è già stata data in precedenza. Da chi? E come?
[/quote]Per esclusione.. ciampax?
Si è vero, non avevo prestato abbastanza attenzione alle sue funzioni! 
"ciampax":
[quote="gugo82"]@ciampax: Bravo studentello!
A quando l'unicità?
Quanto mi dai?
[/quote]Un bacio in fronte basta?
Lo posso fare io anche se analisi 1 l'ho dato qualche tempo fa? In realtà spero si faccia avanti qualche giovincello
Beh, neanche ciampax è un novellino, stando alla Questura...
"gugo82":
Beh, neanche ciampax è un novellino, stando alla Questura...
La Questura tende sempre a diminuire... mi fanno più giovane di quanto io non sia!
"ciampax":
La Questura tende sempre a diminuire... mi fanno più giovane di quanto io non sia!
Non è che sei un parente di ... Mubarak?
(<----- Per questa battuta: un'ora di autoflagellazione 
, lo prometto). Tornando IT, Gugo, aspetto un altro po'
Se posso intromettermi
"strangolatoremancino":
Se posso intromettermi
Non ce l'abbiamo l'iconcina del "Mi piace" di Facebook?
Se posso dico la mia, che è poi quella già trovata.
grazie ciampax, ma, neanche a dirlo, gugo è stato decisamente più raffinato. Buonanotte a tutti
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