[EX] Due simpatiche decomposizioni
Un semplice esercizio per chi studia Analisi I.
Si risolve con un po' di intuito e nulla più.
***
Esercizio:
1. Sia [tex]$f:[a,b] \to \mathbb{R}$[/tex].
Dimostrare che esistono almeno due funzioni [tex]$u,v:[a,b]\to [0,+\infty[$[/tex] (quindi funzioni non negative) tali che:
[tex]$f(x)=u(x)-v(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [a,b]$[/tex].
Dimostrare che tali funzioni, in generale, non sono uniche (basta un controesempio).
2. Sia [tex]$f:[-a,a] \to \mathbb{R}$[/tex], con [tex]$a>0$[/tex].
Dimostrare che esistono due funzioni [tex]$g,h:[-a,a]\to \mathbb{R}$[/tex] con [tex]$g$[/tex] dispari ed [tex]$h$[/tex] pari tali che:
[tex]$f(x)=g(x)+h(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [-a,a]$[/tex].
Dimostrare che tali due funzioni sono uniche.
P.S.: La compattezza degli intervalli base in 1 e 2 non è necessaria, ovviamente.
In 1 l'intervallo \([a,b]\) può essere sosstituito con un generico intervallo \(I\) o, addirittura, con un qualsiasi sottoinsieme \(X\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto.
Invece, in 2, è necessario mantenere la simmetria dell'intervallo in cui è definita \(f\). Pertanto \([-a,a]\) può essere sostituito con \(]-a,a[\) (ed anche, al limite, con tutto \(\mathbb{R}\)) o, più in generale, con un qualsiasi insieme non vuoto \(X\subseteq \mathbb{R}\) che gode della proprietà \(-X\subseteq X\).
Si risolve con un po' di intuito e nulla più.
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Esercizio:
1. Sia [tex]$f:[a,b] \to \mathbb{R}$[/tex].
Dimostrare che esistono almeno due funzioni [tex]$u,v:[a,b]\to [0,+\infty[$[/tex] (quindi funzioni non negative) tali che:
[tex]$f(x)=u(x)-v(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [a,b]$[/tex].
Dimostrare che tali funzioni, in generale, non sono uniche (basta un controesempio).
2. Sia [tex]$f:[-a,a] \to \mathbb{R}$[/tex], con [tex]$a>0$[/tex].
Dimostrare che esistono due funzioni [tex]$g,h:[-a,a]\to \mathbb{R}$[/tex] con [tex]$g$[/tex] dispari ed [tex]$h$[/tex] pari tali che:
[tex]$f(x)=g(x)+h(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [-a,a]$[/tex].
Dimostrare che tali due funzioni sono uniche.
P.S.: La compattezza degli intervalli base in 1 e 2 non è necessaria, ovviamente.
In 1 l'intervallo \([a,b]\) può essere sosstituito con un generico intervallo \(I\) o, addirittura, con un qualsiasi sottoinsieme \(X\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto.
Invece, in 2, è necessario mantenere la simmetria dell'intervallo in cui è definita \(f\). Pertanto \([-a,a]\) può essere sostituito con \(]-a,a[\) (ed anche, al limite, con tutto \(\mathbb{R}\)) o, più in generale, con un qualsiasi insieme non vuoto \(X\subseteq \mathbb{R}\) che gode della proprietà \(-X\subseteq X\).
Risposte
Ritorno sulla questione, per un punto che non è stato ancora sciolto: la mancanza di unicità della decomposizione di cui in 1.
Ovviamente tale questione può essere risolta facilmente producendo un appropriato controesempio.
Ovviamente tale questione può essere risolta facilmente producendo un appropriato controesempio.
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