[EX] Due simpatiche decomposizioni

gugo82
Un semplice esercizio per chi studia Analisi I.
Si risolve con un po' di intuito e nulla più.

***

Esercizio:

1. Sia [tex]$f:[a,b] \to \mathbb{R}$[/tex].
Dimostrare che esistono almeno due funzioni [tex]$u,v:[a,b]\to [0,+\infty[$[/tex] (quindi funzioni non negative) tali che:

[tex]$f(x)=u(x)-v(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [a,b]$[/tex].

Dimostrare che tali funzioni, in generale, non sono uniche (basta un controesempio).

2. Sia [tex]$f:[-a,a] \to \mathbb{R}$[/tex], con [tex]$a>0$[/tex].
Dimostrare che esistono due funzioni [tex]$g,h:[-a,a]\to \mathbb{R}$[/tex] con [tex]$g$[/tex] dispari ed [tex]$h$[/tex] pari tali che:

[tex]$f(x)=g(x)+h(x)$[/tex] per ogni [tex]$x\in [-a,a]$[/tex].

Dimostrare che tali due funzioni sono uniche.


P.S.: La compattezza degli intervalli base in 1 e 2 non è necessaria, ovviamente.
In 1 l'intervallo \([a,b]\) può essere sosstituito con un generico intervallo \(I\) o, addirittura, con un qualsiasi sottoinsieme \(X\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto.
Invece, in 2, è necessario mantenere la simmetria dell'intervallo in cui è definita \(f\). Pertanto \([-a,a]\) può essere sostituito con \(]-a,a[\) (ed anche, al limite, con tutto \(\mathbb{R}\)) o, più in generale, con un qualsiasi insieme non vuoto \(X\subseteq \mathbb{R}\) che gode della proprietà \(-X\subseteq X\).

Risposte
gugo82
Ritorno sulla questione, per un punto che non è stato ancora sciolto: la mancanza di unicità della decomposizione di cui in 1.

Ovviamente tale questione può essere risolta facilmente producendo un appropriato controesempio.

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