[EX] - Due esercizi malefici sulle serie
Purtroppo in questo periodo non ho il tempo nemmeno per cambiarmi le mutande (alla faccia di chi diceva mutatis mutandis 
), e quindi non riesco partecipare al Forum come vorrei... Sottopongo però due esercizi che credo essere abbastanza infami sulle serie, visto che sembra essere l'argomento del mese.
Esercizio 1. Al variare di \(a, b, c \) reali positivi, studiare il comportamento della serie \[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(a+ c) \dots (a + nc)}{b(b + c) \dots (b + n c)}\]
Nota. Questo l'ho raccattato (e risolto) tempo fa da qualche parte... Alla fine dirò perché l'ho proposto.
Esercizio 2. Studiare il comportamento della serie \[\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{|\sin(n)|}{n}\]
Nota. Già proposto, ma rimasto insoluto. Non possiedo la soluzione.
), e quindi non riesco partecipare al Forum come vorrei... Sottopongo però due esercizi che credo essere abbastanza infami sulle serie, visto che sembra essere l'argomento del mese. Esercizio 1. Al variare di \(a, b, c \) reali positivi, studiare il comportamento della serie \[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a(a+ c) \dots (a + nc)}{b(b + c) \dots (b + n c)}\]
Nota. Questo l'ho raccattato (e risolto) tempo fa da qualche parte... Alla fine dirò perché l'ho proposto.
Esercizio 2. Studiare il comportamento della serie \[\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{|\sin(n)|}{n}\]
Nota. Già proposto, ma rimasto insoluto. Non possiedo la soluzione.
Risposte
per il primo è sufficiente applicare il criterio di Raabe: si ha:
"Noisemaker":
[...] il criterio di Raabe [...]
Eccolo lì... proprio lui.
però penso che tu abbia postato questo esercizio, otre che per Rabbe, per capire come si comporta la serie quando lo stesso Raabe fallisce... credo che applicando il criterio di Gauss, che è" bruttissimo da vedere", si possa concludere anche nel caso dubbio ... devo rifettere un attimo però!
per il secondo credo il criterio di Dirichlet
@ Noisemaker: Non credo proprio che \(\sum |\sin n|\) abbia le somme parziali limitate... "A occhio", direi infatti che quella serie diverge, poiché infatti è a termini positivi e non può convergere (perché non ha gli addendi infinitesimi).
"gugo82":
@ Noisemaker: Non credo proprio che \(\sum |\sin n|\) abbia le somme parziali limitate... "A occhio", direi infatti che quella serie diverge, poiché infatti è a termini positivi e non può convergere (perché non ha gli addendi infinitesimi).
Sono d'accordo. Peraltro credo che già il mostrare questo fatto non sia proprio banale...
Ma come "non è banale"?
Dim.: La serie \(\sum |\sin n|\) è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente; dato che non può convergere (perché \(|\sin n|\) non soddisfa la condizione necessaria), essa diverge positivamente. \(\square\)
Dim.: La serie \(\sum |\sin n|\) è a termini positivi, quindi o converge o diverge positivamente; dato che non può convergere (perché \(|\sin n|\) non soddisfa la condizione necessaria), essa diverge positivamente. \(\square\)
Ok, mi sono espresso male io: intendevo dire mostrare "esplicitamente", per esempio minorandone un'estratta...
Post riflessione e calcoli:
Applicando il criterio di Raabe, la serie risulta convergente se $\frac{b-a}{c}>1,$ divergente se $\frac{b-a}{c}<1,$ mentre per $\frac{b-a}{c}=1$ il criterio risulta inefficace; per tale valore possiamo provare ad applicare il criterio di Gauss, cioè bisogna essere in grado di poter scrivere il rapporto $a_n/a_{n+1}$ come
\[\frac{a_n}{a_{n+1}}=A+\frac{B}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2},\]
dove $A,B$ sono cosatnti e $\lambda_n$ è una successione limitata; se accade che:
\begin{align}
A>1,\quad&\mbox{o}\quad A=1\,\,\,\mbox{e}\,\,\, B>1\qquad\mbox{la serie converge;}\\
A<1,\quad&\mbox{o}\quad A=1\,\,\,\mbox{e}\,\,\, B\le1\qquad\mbox{la serie diverge.}
\end{align}
Allora abbiamo che:
\begin{align}
\frac{a_n}{a_{n+1}}&= \frac{a(a+ (b-a)) \dots (a + n(b-a))}{b(b + (b-a)) \dots (b + n(b-a))}\cdot \frac{b(b + (b-a)) \dots (b + (n+1)(b-a))}{a(a+ (b-a)) \dots (a + (n+1)(b-a))}\\
&=\frac{a+(n+1)(b-a)+b-a}{a+(n+1)(b-a)}=1+\frac{ b-a }{a+(n+1)(b-a)}.
\end{align}
Ponendo
\begin{align}
1+\frac{ b-a }{a+(n+1)(b-a)}&=1+\frac{B}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2}, \\
\frac{ b-a }{a+(n+1)(b-a)}&=\frac{B}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2}.
\end{align}
Posto $B=1$ si ottine:
\begin{align}
\frac{ b-a }{a+(n+1)(b-a)}&=\frac{1}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{\lambda^n}{n^2}=\frac{a-b}{n[a+(n+1)(b-a)]};
\end{align}
quindi:
\begin{align}
\frac{a_n}{a_{n+1}}&=1+\frac{1}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n^2(a-b)}{n[a+(n+1)(b-a)]};
\end{align}
essendo $\frac{n^2(a-b)}{n[a+(n+1)(b-a)]$ limitata, abbiamo trovato due costanti $A=B=1$ e una successione $\lambda_n$ limitata, che ci permettono di concludere che la serie per $ b-a =c$ diverge.
Applicando il criterio di Raabe, la serie risulta convergente se $\frac{b-a}{c}>1,$ divergente se $\frac{b-a}{c}<1,$ mentre per $\frac{b-a}{c}=1$ il criterio risulta inefficace; per tale valore possiamo provare ad applicare il criterio di Gauss, cioè bisogna essere in grado di poter scrivere il rapporto $a_n/a_{n+1}$ come
\[\frac{a_n}{a_{n+1}}=A+\frac{B}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2},\]
dove $A,B$ sono cosatnti e $\lambda_n$ è una successione limitata; se accade che:
\begin{align}
A>1,\quad&\mbox{o}\quad A=1\,\,\,\mbox{e}\,\,\, B>1\qquad\mbox{la serie converge;}\\
A<1,\quad&\mbox{o}\quad A=1\,\,\,\mbox{e}\,\,\, B\le1\qquad\mbox{la serie diverge.}
\end{align}
Allora abbiamo che:
\begin{align}
\frac{a_n}{a_{n+1}}&= \frac{a(a+ (b-a)) \dots (a + n(b-a))}{b(b + (b-a)) \dots (b + n(b-a))}\cdot \frac{b(b + (b-a)) \dots (b + (n+1)(b-a))}{a(a+ (b-a)) \dots (a + (n+1)(b-a))}\\
&=\frac{a+(n+1)(b-a)+b-a}{a+(n+1)(b-a)}=1+\frac{ b-a }{a+(n+1)(b-a)}.
\end{align}
Ponendo
\begin{align}
1+\frac{ b-a }{a+(n+1)(b-a)}&=1+\frac{B}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2}, \\
\frac{ b-a }{a+(n+1)(b-a)}&=\frac{B}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2}.
\end{align}
Posto $B=1$ si ottine:
\begin{align}
\frac{ b-a }{a+(n+1)(b-a)}&=\frac{1}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{\lambda^n}{n^2}=\frac{a-b}{n[a+(n+1)(b-a)]};
\end{align}
quindi:
\begin{align}
\frac{a_n}{a_{n+1}}&=1+\frac{1}{n}+\frac{\lambda_n}{n^2}=1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n^2(a-b)}{n[a+(n+1)(b-a)]};
\end{align}
essendo $\frac{n^2(a-b)}{n[a+(n+1)(b-a)]$ limitata, abbiamo trovato due costanti $A=B=1$ e una successione $\lambda_n$ limitata, che ci permettono di concludere che la serie per $ b-a =c$ diverge.
"gugo82":
@ Noisemaker: Non credo proprio che \(\sum |\sin n|\) abbia le somme parziali limitate... "A occhio", direi infatti che quella serie diverge, poiché infatti è a termini positivi e non può convergere (perché non ha gli addendi infinitesimi).
già è vero ...
Non ci fosse stato quel valore assoluto maledetto nel termine generale avrei detto che la prima serie è convergente,
sfruttando proprio il teorema di Dirichlet,
il fatto che ${1/n}_(n in NN)$ è una successione numerica a termini positivi decrescente ed infinitesima e,inoltre,
la ${sum_(k=1)^n (-1)^k"sen"k=sum_(k=1)^n "sen"k(pi+1)}_(n in NN)$ è limitata grazie all'identità trigonometrica di Lagrange
(i.e. $sum_(k=1)^n "sen" ktheta=("cos"1/2theta-"cos"1/2(n+1)theta)/(2"sen"1/2theta)$ $AA theta in RR setminus bigcup_(h in ZZ){hpi}$,
determinabile osservando che,moltiplicandone ambo i membri per il denominatore del II°,
le note formule formule di Werner permettono di "telescopizzare" la sommatoria);
ma c'è,ringraziando il buon Del(sempre a caccia d'esempi di quanto basti poco per rendere l'Analisi I un inferno ),
ed inizio a sospettare,a meno di decisive osservazioni "semplici" che evidentemente mi sfuggono,un paio di cose
(non per forza antitetiche tra loro):
o serve una Matematica più "alta",per minorare il valore assoluto del termine generale di ${sum_(k=1)^n (-1)^k |"sen"k|}_(n in NN)$(2)
(visto che gli addendi di tale somma stanno in $(-1,1)$ mi vengano in mente un paio di robe collegate alla caratterizzazione dell'equidistribuzione dovuta a Weyl,
ma non ne son per nulla certo dato che l'argomento m'è fresco e per nulla "ben digerito" e,ad esser sincero,
sarei inoltre sorpreso se non ce ne fossero altri calzanti..),
oppure si può provare a cercare il modo di raggruppare a tre a tre
(l'idea di base è ovvia,essendo $[pi]=3$,
ma forse occorre fare qualche sistemazione "tecnica" introducendo opportune successioni naturali "estraenti"..),
gli addendi di quella sommatoria e vedere se,grazie anche all'identità trigonometrica testè richiamata,
salta fuori qualche bella pensata per minorare la (2).
Spero di non aver sviato nessun eventuale lettore
(almeno non più di quanto son riuscito a fare con me stesso
):
saluti dal web.
sfruttando proprio il teorema di Dirichlet,
il fatto che ${1/n}_(n in NN)$ è una successione numerica a termini positivi decrescente ed infinitesima e,inoltre,
la ${sum_(k=1)^n (-1)^k"sen"k=sum_(k=1)^n "sen"k(pi+1)}_(n in NN)$ è limitata grazie all'identità trigonometrica di Lagrange
(i.e. $sum_(k=1)^n "sen" ktheta=("cos"1/2theta-"cos"1/2(n+1)theta)/(2"sen"1/2theta)$ $AA theta in RR setminus bigcup_(h in ZZ){hpi}$,
determinabile osservando che,moltiplicandone ambo i membri per il denominatore del II°,
le note formule formule di Werner permettono di "telescopizzare" la sommatoria);
ma c'è,ringraziando il buon Del(sempre a caccia d'esempi di quanto basti poco per rendere l'Analisi I un inferno
),ed inizio a sospettare,a meno di decisive osservazioni "semplici" che evidentemente mi sfuggono,un paio di cose
(non per forza antitetiche tra loro):
o serve una Matematica più "alta",per minorare il valore assoluto del termine generale di ${sum_(k=1)^n (-1)^k |"sen"k|}_(n in NN)$(2)
(visto che gli addendi di tale somma stanno in $(-1,1)$ mi vengano in mente un paio di robe collegate alla caratterizzazione dell'equidistribuzione dovuta a Weyl,
ma non ne son per nulla certo dato che l'argomento m'è fresco e per nulla "ben digerito" e,ad esser sincero,
sarei inoltre sorpreso se non ce ne fossero altri calzanti..),
oppure si può provare a cercare il modo di raggruppare a tre a tre
(l'idea di base è ovvia,essendo $[pi]=3$,
ma forse occorre fare qualche sistemazione "tecnica" introducendo opportune successioni naturali "estraenti"..),
gli addendi di quella sommatoria e vedere se,grazie anche all'identità trigonometrica testè richiamata,
salta fuori qualche bella pensata per minorare la (2).
Spero di non aver sviato nessun eventuale lettore
(almeno non più di quanto son riuscito a fare con me stesso
):saluti dal web.
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