[EX] - Disuguaglianza integrale
Ho il seguente esercizio che dice:
Sia \(\displaystyle \alpha>0 \). Dimostrare che valgono le disuguaglianze \[\displaystyle \frac{e^{\alpha e} - e^{\alpha}}{\alpha e} \le \int^{1}_{0} e^{\alpha e^{x}} \ dx \le \frac{e^{\alpha e} - e^{\alpha}}{\alpha}\]
Ho proceduto così (trucchetto + integrazione per parti): \[\displaystyle \int^{1}_{0} e^{\alpha e^{x}} \ dx=\int^{1}_{0} \frac{\alpha e^{x} e^{\alpha e^{x}}}{\alpha e^{x}} \ dx =\left[ \frac{e^{\alpha e^{x}}}{\alpha e^{x}} \right]^{1}_{0} + \int^{1}_{0} \frac{e^{\alpha e^{x}}}{\alpha e^{x}} \ dx \qquad [1] \]
Ora, la funzione \(\displaystyle \frac{e^{\alpha e^{x}}}{\alpha e^{x}} \) è continua e derivabile su \(\displaystyle \mathbb{R} \), e la sua derivata è \(\displaystyle \frac{1}{\alpha} e^{\alpha e^{x} -x}(\alpha e^{x} -1) \) che è positiva per \(\displaystyle \alpha e^{x} -1 \ge 0 \), ossia per \(\displaystyle e^{x} \ge \frac{1}{\alpha} \); per \(\displaystyle \alpha \ge 1 \) * quella disuguaglianza è verificata \(\displaystyle \forall x \in [0,1] \), quindi la funzione in questione è crescente nel compatto considerato, da cui posso concludere che \[\displaystyle \frac{e^{\alpha}}{\alpha e} \le \int^{1}_{0} \frac{e^{ae^{x}}}{\alpha e^{x}} \ dx \le \frac{\alpha e^{\alpha}}{\alpha e} \]
Quindi in definitiva la \(\displaystyle [1] \) diventa \[\displaystyle \int^{1}_{0} e^{\alpha e^{x}} \ dx \le \left[\frac{e^{\alpha e}}{\alpha e} - \frac{e^{\alpha}}{\alpha} \right] + \frac{e^{\alpha e}}{\alpha e}=\frac{2e^{\alpha e}}{\alpha e} - \frac{e^{\alpha}}{\alpha} \] e siccome \(\displaystyle 1 > \frac{2}{e} \) ho che \[\displaystyle \frac{2e^{\alpha e}}{\alpha e} - \frac{e^{\alpha}}{\alpha} \le \frac{e^{\alpha e} - e^{\alpha}}{\alpha} \]
donde la prima metà della tesi.
Per l'altra disuguaglianza osservo che \[\displaystyle 0 < \frac{e^{\alpha e} - e^{\alpha}}{\alpha e} \le \frac{e^{\alpha e}}{\alpha e} - \frac{e^{\alpha}}{\alpha} + \frac{e^{\alpha}}{\alpha} \le \int^{1}_{0} e^{\alpha e^{x}} \ dx \]
Il problema è contrassegnato dall'asterisco rosso: ho provato la disuguaglianza solo per \(\displaystyle \alpha \ge 1 \); c'è ancora qualcosa che mi sfugge oppure c'è un errore di testo ( - cosa estremamente non improbabile)?
Sia \(\displaystyle \alpha>0 \). Dimostrare che valgono le disuguaglianze \[\displaystyle \frac{e^{\alpha e} - e^{\alpha}}{\alpha e} \le \int^{1}_{0} e^{\alpha e^{x}} \ dx \le \frac{e^{\alpha e} - e^{\alpha}}{\alpha}\]
Ho proceduto così (trucchetto + integrazione per parti): \[\displaystyle \int^{1}_{0} e^{\alpha e^{x}} \ dx=\int^{1}_{0} \frac{\alpha e^{x} e^{\alpha e^{x}}}{\alpha e^{x}} \ dx =\left[ \frac{e^{\alpha e^{x}}}{\alpha e^{x}} \right]^{1}_{0} + \int^{1}_{0} \frac{e^{\alpha e^{x}}}{\alpha e^{x}} \ dx \qquad [1] \]
Ora, la funzione \(\displaystyle \frac{e^{\alpha e^{x}}}{\alpha e^{x}} \) è continua e derivabile su \(\displaystyle \mathbb{R} \), e la sua derivata è \(\displaystyle \frac{1}{\alpha} e^{\alpha e^{x} -x}(\alpha e^{x} -1) \) che è positiva per \(\displaystyle \alpha e^{x} -1 \ge 0 \), ossia per \(\displaystyle e^{x} \ge \frac{1}{\alpha} \); per \(\displaystyle \alpha \ge 1 \) * quella disuguaglianza è verificata \(\displaystyle \forall x \in [0,1] \), quindi la funzione in questione è crescente nel compatto considerato, da cui posso concludere che \[\displaystyle \frac{e^{\alpha}}{\alpha e} \le \int^{1}_{0} \frac{e^{ae^{x}}}{\alpha e^{x}} \ dx \le \frac{\alpha e^{\alpha}}{\alpha e} \]
Quindi in definitiva la \(\displaystyle [1] \) diventa \[\displaystyle \int^{1}_{0} e^{\alpha e^{x}} \ dx \le \left[\frac{e^{\alpha e}}{\alpha e} - \frac{e^{\alpha}}{\alpha} \right] + \frac{e^{\alpha e}}{\alpha e}=\frac{2e^{\alpha e}}{\alpha e} - \frac{e^{\alpha}}{\alpha} \] e siccome \(\displaystyle 1 > \frac{2}{e} \) ho che \[\displaystyle \frac{2e^{\alpha e}}{\alpha e} - \frac{e^{\alpha}}{\alpha} \le \frac{e^{\alpha e} - e^{\alpha}}{\alpha} \]
donde la prima metà della tesi.
Per l'altra disuguaglianza osservo che \[\displaystyle 0 < \frac{e^{\alpha e} - e^{\alpha}}{\alpha e} \le \frac{e^{\alpha e}}{\alpha e} - \frac{e^{\alpha}}{\alpha} + \frac{e^{\alpha}}{\alpha} \le \int^{1}_{0} e^{\alpha e^{x}} \ dx \]
Il problema è contrassegnato dall'asterisco rosso: ho provato la disuguaglianza solo per \(\displaystyle \alpha \ge 1 \); c'è ancora qualcosa che mi sfugge oppure c'è un errore di testo ( - cosa estremamente non improbabile)?
Risposte
Per \( 0 \leq x \leq 1\) è \( 1 \leq e^x \leq e\) quindi:
\( \int_0^1 e^{\alpha e^x} dx \leq \int_0^1 e^x e^{\alpha e^x}dx=\frac{1}{\alpha}\int_0^1 \alpha e^x e^{\alpha e^x}=\frac{1}{\alpha}\int_{0}^{1}\frac{d}{dx}(e^{\alpha e^{x}})dx=\frac{e^{\alpha e}-e^{\alpha}}{\alpha}\)
\( \int_{0}^{1}e^{\alpha e^{x}}dx\geq\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e}e^{\alpha e^{x}}dx=\frac{1}{e\alpha}\int_{0}^{1}\alpha e^{x}e^{\alpha e^{x}}dx=\frac{e^{\alpha e}-e^{\alpha}}{\alpha e}\)
\( \int_0^1 e^{\alpha e^x} dx \leq \int_0^1 e^x e^{\alpha e^x}dx=\frac{1}{\alpha}\int_0^1 \alpha e^x e^{\alpha e^x}=\frac{1}{\alpha}\int_{0}^{1}\frac{d}{dx}(e^{\alpha e^{x}})dx=\frac{e^{\alpha e}-e^{\alpha}}{\alpha}\)
\( \int_{0}^{1}e^{\alpha e^{x}}dx\geq\int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e}e^{\alpha e^{x}}dx=\frac{1}{e\alpha}\int_{0}^{1}\alpha e^{x}e^{\alpha e^{x}}dx=\frac{e^{\alpha e}-e^{\alpha}}{\alpha e}\)
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