[EX] - Diffeomorfismo

[Sk_Anonymous]

Determinare tutti i valori del parametro $ \lambda \in \mathbb{R}$ tali che la funzione $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ \[f(x,y) =(x + \lambda y, y- (\lambda +1 )x^2) \]sia un diffeomorfismo. Calcolare in questi casi la funzione inversa.

Ho osservato la seguente cosa: \[f(0,0)=f \left( -\frac{1}{\lambda (1+ \lambda)}, \frac{1}{\lambda^2 (1+\lambda)} \right)=(0,0) \]cioè ho due punti distinti con la medesima immagine. Sono scemo io oppure devo lavorare solo con i restanti valori?

Edit. Volevo quotare parte del mio messaggio e invece l'ho editato, mannaggia a me. Ho cercato di ripristinare il contenuto originario del post.

[Raptorista1]

Sinceramente, non h capito cosa stai facendo xD

Come fai a passare da \(f(0,0)\) a quella cosa piena di \(\lambda\)?
E poi, se anche fosse \(f(0,0) = (0,0)\), hai trovato un punto fisso, mica perso l'iniettività.

Sorry, mi sa che non ho afferrato il punto della questione

[Sk_Anonymous]

In effetti mi rendo conto di essere stato piuttosto criptico; chiedo venia. Mi spiego meglio: un diffeomorfismo è una funzione tra due varietà differenziabili con la proprietà di essere differenziabile, invertibile e avere l'inversa differenziabile.
Ora, la funzione in questione è sicuramente \(\mathcal{C}^\infty \), quindi nessun problema intorno alla differenziabilità.
Il problema che ho rilevato è il seguente: se \( \lambda \ne 0 \) e \( \lambda \ne -1 \) il punto \( \left( -\frac{1}{\lambda(1+\lambda)}, \frac{1}{\lambda^2 (1+\lambda)} \right) \ne (0,0) \) verifica \[ f \left( -\frac{1}{\lambda(1+\lambda)}, \frac{1}{\lambda^2 (1+\lambda)} \right)=(0,0) \] e del resto anche l'immagine di \( (0,0) \) tramite \( f \) è \( (0,0) \), cioè in conclusione, comunque si assuma \(\lambda \), abbiamo due punti distinti con medesima immagine tramite \( f \), il che fa cadere l'iniettività della stessa \(f\).

Spero di non aver bevuto troppe birre...

[ciampax]

@Delirium: hai dimostrato che se $\lambda\ne 0,\ \lambda\ne -1$ la funzione non è iniettiva. Ergo, devi vedere cosa accade con gli altri due valori.

[Sk_Anonymous]

Infatti, in capothread, domandai:

"Delirium":[...] Sono scemo io oppure devo lavorare solo con i restanti valori?

Era solo una richiesta di conferma. Grazie ciampax!