[EX] - Derivabilità di una funzione integrale

[Studente Anonimo]

Esercizio. Sia \( f :\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[ f(x) = \begin{cases} \sin(1/x) & \text{se } x \ne 0 \\ 0 & \text{se } x= 0.\end{cases} \]Mostrare che la funzione \( F(x) = \int_0^x f(t) \, dt \) è derivabile in \(0 \).

[bosmer-votailprof]

Ciao 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6,
se non spieghi quali sono le tue difficoltà, e non fai vedere che almeno hai provato a fare l'esercizio, difficilmente qualcuno ti risponderà in questo forum.

[Reyzet]

"Bossmer":Ciao 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6,
se non spieghi quali sono le tue difficoltà, e non fai vedere che almeno hai provato a fare l'esercizio, difficilmente qualcuno ti risponderà in questo forum.

Lo sa risolvere, è un esercizio proposto a tutti (c'è scritto [EX]).

[bosmer-votailprof]

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah !! carino chiedo scusa non lo sapevo
ma non bisogna scrivere la soluzione qui immagino, giusto?

[Studente Anonimo]

"Bossmer":aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah !! carino chiedo scusa non lo sapevo
ma non bisogna scrivere la soluzione qui immagino, giusto?

Se vuoi sì, magari in spoiler.

[bosmer-votailprof]

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":[quote="Bossmer"]aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah !! carino chiedo scusa non lo sapevo
ma non bisogna scrivere la soluzione qui immagino, giusto?

Se vuoi sì, magari in spoiler.[/quote]

Ma allora io lo risolverei così :

Allora $f(x)$ è chiaramente una funzione limitata, discontinua nell'origine. Quindi avendo una sola discontinuità è R-integrabile. Ovviamente $F(0) =0$ quindi per essere derivabile, deve esistere finito il limite $lim_{h\to 0}\frac{F(h)}{h}$
Inoltre notiamo che $F$ è una funzione pari, infatti :
$$
F(-h)=\int_0^{-h}f(t)dt=-\int_{-h}^0f(t)dt=-\left(-\int_0^hf(t)dt\right)=F(h)
$$
dove la penultima uguaglianza segue dal fatto che $f(t)$ è una funzione dispari, quindi
$$
\int_{-h}^0f(t)dt=-\int_0^hf(t)dt
$$
Ora per quanto detto all'inizio anche la restrizione della funzione $f:[0,h] \to \mathbb{R}$ con $h>0$, è limitata e R-integrabile quindi si può applicare il teorema della media integrale, dunque esiste $ \lambda\in \mathbb{R}$ tale che
$$
\frac{F(h)}{h}=\frac{1}{h}\int_0^h\sin\left(\frac{1}{t}\right)dt=\lambda
$$
e di conseguenza
$$
F'_+(0)=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{F(h)}{h}=\lim\limits_{h\to 0^+}\lambda=\lambda
$$
Quindi abbiamo dimostrato l'esistenza della derivata destra, allo stesso modo si dimostra l'esistenza di quella sinistra, inoltre poiché $F$ è pari si ottiene immediatamente che $F'_{-}(0)=-\lambda$ ; quindi per essere derivabile in zero bisogna dimostrare che $\lambda=0$.
Studiamo quindi il valore assoluto del limite destro e mostriamo che è zero
$$
\lim\limits_{h\to 0^+}\left|\frac{1}{h}\int_0^h\sin\left(\frac{1}{t}\right)dt\right|\leq\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{1}{h}\int_0^h\left|\sin\left(\frac{1}{t}\right)\right|dt
$$
applichiamo la sostituzione $h=\frac{1}{2n\pi}$ in questo modo otteniamo il limite
$$
\lim\limits_{n\to +\infty}2n\pi\int_0^\frac{1}{2n\pi}\left|\sin\left(\frac{1}{t}\right)\right|dt
$$
poiché adesso l'integrando è una funzione positiva, possiamo dividere l'integrale in una sommatoria di integrali, ottenendo:
$$
\lim\limits_{n\to +\infty}2n\pi\sum_{k=0}^{+\infty}\int_\frac{1}{2\pi(n+k)}^\frac{1}{2\pi(n+k+1)}\left|\sin\left(\frac{1}{t}\right)\right|dt \leq \lim\limits_{n\to +\infty}2n\pi\sum_{k=0}^{+\infty}\left[\frac{1}{2\pi(n+k)}-\frac{1}{2\pi(n+k+1)}\right]=\\
=\lim\limits_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{n}{(n+k)(n+k+1)}
$$
A questo punto la successione di funzioni $g_k(n)=\frac{1}{(n+k)(n+k+1)}\leq\frac{1}{k(k+1)}$ di conseguenza applicando il criterio di Weistrass ed essendo $\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)}$ convergente, abbiamo che $\sum_{k=0}^{+\infty}g_k(n)$ è una serie uniformemente convergente per cui è uniformemente convergente anche la serie $\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{n}{(n+k)(n+k+1)}=n\sum_{k=0}^{+\infty}g_k(n)$ , ciò ci permette di scambiare il limite con la sommatoria ottenendo che :
$$
\lim\limits_{n\to +\infty}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{n}{(n+k)(n+k+1)}=\sum_{k=0}^{+\infty}\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{n}{(n+k)(n+k+1)}=\sum_{k=0}^{+\infty}\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{n}{n^2(1+k/n)(1+k/n+1/n)}=\sum_{k=0}^{+\infty}0=0
$$
dunque $\lambda=0$ quindi $F$ è derivabile in zero , e $F'(0)=0$

[Studente Anonimo]

@Bossmer:

"Bossmer":[...] Ora per quanto detto all'inizio anche la restrizione della funzione $f:[0,h] \to \mathbb{R}$ con $h>0$, è limitata e R-integrabile quindi si può applicare il teorema della media integrale, dunque esiste $ \lambda\in \mathbb{R}$ tale che
$$
\frac{F(h)}{h}=\frac{1}{h}\int_0^h\sin\left(\frac{1}{t}\right)dt=\lambda
$$
e di conseguenza
$$
F'_+(0)=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{F(h)}{h}=\lim\limits_{h\to 0^+}\lambda=\lambda
$$

Non mi piace quello che fai qui. In primo luogo il teorema della media integrale classico vuole che \(f\) sia continua in tutto \( [0,h]\), cosa che non succede qui. Inoltre in generale \[ \int_a^b f(t) \, dt = f(c)(b-a) \] per un certo \(c \in [a,b] \), mentre il tuo \( \lambda \) non sembra dipendere né da \( f \) né da \(h\).

Detto ciò mi sembra tu stia usando più qualcosa di questo tipo (non ho trovato un riferimento migliore, anche se è un fatto ovvio); però di nuovo \(\lambda\) dovrebbe dipendere da \(h\).

Una possibilità:

Diciamo per \( h>0\) si ha \[ \frac{F(h)}{h}=\frac{1}{h} \left[ \int_0^{h^2} \sin(1/t) \, dt + \int_{h^2}^h \sin(1/t) \, dt \right]. \] Quando \(h \to 0^+\) il primo pezzo va a zero; per studiare il secondo si può fare il cambio di variabile \( 1/t = s\) e poi integrare per parti (essendo lontani dalla singolarità, si può fare tutto).

[bosmer-votailprof]

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Detto ciò mi sembra tu stia usando più qualcosa di questo tipo (non ho trovato un riferimento migliore, anche se è un fatto ovvio); però di nuovo \(\lambda\) dovrebbe dipendere da \(h\).

Si hai assolutamente ragione, innanzi tutto si sto usando una versione più forte del teorema della media, quella che come ipotesi chiede solo la limitatezza della funzione integranda, c'è anche questo intervento sul forum :
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?p=773328#p773328

In secondo luogo sono stato superficiale, $\lambda$ è assolutamente una funzione di $h$, detto questo la sostanza della dimostrazione non cambia, semplicemente nel primo passo, posso solo concludere che $F'_+ (0)=\lim_{h \to 0+}\lambda(h)$ sempre che il secondo limite esista finito, ipotizzando momentaneamente che lo sia vale la considerazione successiva sul limite sinistro dovuta alla parità di $F$.

La seconda parte della dimostrazione non rimane influenzata però da questa svista

[bosmer-votailprof]

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Una possibilità:
Diciamo per \( h>0\) si ha \[ \frac{F(h)}{h}=\frac{1}{h} \left[ \int_0^{h^2} \sin(1/t) \, dt + \int_{h^2}^h \sin(1/t) \, dt \right]. \] Quando \(h \to 0^+\) il primo pezzo va a zero; per studiare il secondo si può fare il cambio di variabile \( 1/t = s\) e poi integrare per parti (essendo lontani dalla singolarità, si può fare tutto).

si in effetti ci ho pensato dopo aver pubblicato che la mia scelta sulla suddivisione dell'intervallo era inutilmente complicata visto che poi per così dire "non la sfrutto" dato che maggioro il seno con 1... la tua scelta forse è più semplice, anche se bisogna far vedere che anche il secondo pezzo va a zero senza integrarlo, visto che la primitiva non è una funzione elementare.