[EX] - Convergenza serie

[Sk_Anonymous]

Prendendo spunto da questo topic, propongo il seguente problema.
Di questo possiedo una mia soluzione.

Sia \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) una successione reale tale che \(\displaystyle a_{n} > 0 \) per ogni \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) e supponiamo che la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) converga. Provare allora che anche la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} ^{1 - \frac{1}{n}} \) converge.

Enjoy!

[Rigel1]

Fissato \(\epsilon\in (0,1)\), sia \( A := \{ n\in\mathbb{N}: \sqrt[n]{a_n} < \epsilon \}\).
Se \(n\in A\) avremo che \(a_n^{1-1/n} < \epsilon^{n-1}\), mentre se \(n\in\mathbb{N}\setminus A\) avremo che \(a_n^{1-1/n} \leq \frac{a_n}{\epsilon}\). Di conseguenza
\[
\sum_n a_n^{1-1/n} = \sum_{n\in A} + \sum_{n\in\mathbb{N}\setminus A} \leq
\sum_n \epsilon^{n-1} + \sum_n \frac{a_n}{\epsilon} < \infty.
\]