[ex] convergenza serie
Devo studiare la convergenza della serie di potenze $ sum_(n=1)^ (+oo) (2^n/n+3^n/n^2)x^n $. Il suggerimento è di usare il criterio della radice, ma non sono riuscita ad applicarlo a questo caso.
E' ugualmente corretto fare in quest'altro modo? Spezzo la serie:
$ sum_(n=1)^ (+oo) 2^n/n x^n+sum_(n=1)^ (+oo)3^n/n^2x^n $
Applico alla prima serie il criterio del rapporto
$ lim_(n -> +oo)2^(n+1)/(n+1)n/2^n|x|= 2|x|<1 hArr |x|<\1/2 $ e ottengo che la serie è convergente per $|x| < 1/2$.
Adesso applico alla prima serie il criterio del rapporto
$ lim_(n -> +oo)3^(n+1)/(n+1)^2 n^2/3^n|x|= 3|x|<1 hArr |x|<\1/3 $ e ottengo che la serie è convergente per $|x| < 1/3$.
La serie data, quindi, è convergente per $|x| < 1/2$ et $|x| < 1/3$, cioè per $|x| < 1/3$ . [vedi EDIT, sotto]
Non riesco però a determinare il carattere della serie agli estremi dell'intervallo. Per $x = 1/3$ ho
$ sum_(n=1)^(+oo) = (2^n/n+3^n/n^2)1/3^n=sum_(n=1)^(+oo)((2/3)^n1/n+1/n^2) $ ma non riesco ad andare avanti. Lo stesso per $x = -1/3$...
Grazie mille a chi mi darà una mano!
[EDIT] * "La serie data, quindi, è convergente per $|x| < 1/2$ et $|x| < 1/3$, cioè per $|x| < 1/3$": ripensandoci, questa sembra una stupidaggine, però in effetti $[-1/3, 1/3]$ è l'intervallo di convergenza che deve risultare. E' un caso?
E' ugualmente corretto fare in quest'altro modo? Spezzo la serie:
$ sum_(n=1)^ (+oo) 2^n/n x^n+sum_(n=1)^ (+oo)3^n/n^2x^n $
Applico alla prima serie il criterio del rapporto
$ lim_(n -> +oo)2^(n+1)/(n+1)n/2^n|x|= 2|x|<1 hArr |x|<\1/2 $ e ottengo che la serie è convergente per $|x| < 1/2$.
Adesso applico alla prima serie il criterio del rapporto
$ lim_(n -> +oo)3^(n+1)/(n+1)^2 n^2/3^n|x|= 3|x|<1 hArr |x|<\1/3 $ e ottengo che la serie è convergente per $|x| < 1/3$.
La serie data, quindi, è convergente per $|x| < 1/2$ et $|x| < 1/3$, cioè per $|x| < 1/3$ . [vedi EDIT, sotto]
Non riesco però a determinare il carattere della serie agli estremi dell'intervallo. Per $x = 1/3$ ho
$ sum_(n=1)^(+oo) = (2^n/n+3^n/n^2)1/3^n=sum_(n=1)^(+oo)((2/3)^n1/n+1/n^2) $ ma non riesco ad andare avanti. Lo stesso per $x = -1/3$...
Grazie mille a chi mi darà una mano!
[EDIT] * "La serie data, quindi, è convergente per $|x| < 1/2$ et $|x| < 1/3$, cioè per $|x| < 1/3$": ripensandoci, questa sembra una stupidaggine, però in effetti $[-1/3, 1/3]$ è l'intervallo di convergenza che deve risultare. E' un caso?
Risposte
Il criterio della radice applicato alle serie di potenze:
$ (2^n/n+3^n/n^2)^(1/n)=[3^n/n^2((n^2*2^n)/(n*3^n)+1)]^(1/n)=[3^n/n^2(n(2/3)^n+1)]^(1/n)=[(3^n/n^2)(1+o(1))]^(1/n)=3/n^(2/n)+o(1/n^(2/n))=3e^((-2/n)lnn)+o(1/n^(2/n))rarr3 $ per $ n rarr+oo $
quindi il raggio di convergenza e' $ R=1/3 $ e l'intervallo di convergenza garantito dal criterio e' $ (-1/3,1/3) $.
Per il punto limite $ x=3 $
$ (2^n/n+3^n/n^2)(1/3)^n=1/n(2/3)^n+1/n^2 $
serie convergente poiche' somma di due serie convergenti [per la prima vale $ 1/n(2/3)^n<=(2/3)^n $ serie geometrica convergente]
Idem per $ x=-1/3 $ perche' la serie $ (2^n/n+3^n/n^2)(-1/3)^n $ converge assolutamente per quanto detto sopra.
Conclusione: l'intervallo di convergenza e' [-1/3,1/3].
P.S. e' lecita l'operazione di dividere in due parti una serie: $ sum_(n=0)^(+oo)(a_n+b_n)=sum_(n=0)^(+oo)a_n+sum_(n=0)^(+oo)b_n $ e pure ha senso il risultato che hai ottenuto: se entrambe le serie sono positive e una diverge e una converge, supponiamo $ sum_(n=0)^(+oo)a_n=+oo $ mentre $ sum_(n=0)^(+oo)b_n=K $, allora essendo $ sum_(n=0)^(+oo)a_n<=sum_(n=0)^(+oo)(a_n+b_n) $ segue che $ sum_(n=0)^(+oo)(a_n+b_n) $ diverge! Mentre se entranbe le serie convergono allora la somma sara' la somma delle somme delle due. Cosi' si spiega anche il risultato sull'intervallo di convergenza che hai ottenuto.
$ (2^n/n+3^n/n^2)^(1/n)=[3^n/n^2((n^2*2^n)/(n*3^n)+1)]^(1/n)=[3^n/n^2(n(2/3)^n+1)]^(1/n)=[(3^n/n^2)(1+o(1))]^(1/n)=3/n^(2/n)+o(1/n^(2/n))=3e^((-2/n)lnn)+o(1/n^(2/n))rarr3 $ per $ n rarr+oo $
quindi il raggio di convergenza e' $ R=1/3 $ e l'intervallo di convergenza garantito dal criterio e' $ (-1/3,1/3) $.
Per il punto limite $ x=3 $
$ (2^n/n+3^n/n^2)(1/3)^n=1/n(2/3)^n+1/n^2 $
serie convergente poiche' somma di due serie convergenti [per la prima vale $ 1/n(2/3)^n<=(2/3)^n $ serie geometrica convergente]
Idem per $ x=-1/3 $ perche' la serie $ (2^n/n+3^n/n^2)(-1/3)^n $ converge assolutamente per quanto detto sopra.
Conclusione: l'intervallo di convergenza e' [-1/3,1/3].
P.S. e' lecita l'operazione di dividere in due parti una serie: $ sum_(n=0)^(+oo)(a_n+b_n)=sum_(n=0)^(+oo)a_n+sum_(n=0)^(+oo)b_n $ e pure ha senso il risultato che hai ottenuto: se entrambe le serie sono positive e una diverge e una converge, supponiamo $ sum_(n=0)^(+oo)a_n=+oo $ mentre $ sum_(n=0)^(+oo)b_n=K $, allora essendo $ sum_(n=0)^(+oo)a_n<=sum_(n=0)^(+oo)(a_n+b_n) $ segue che $ sum_(n=0)^(+oo)(a_n+b_n) $ diverge! Mentre se entranbe le serie convergono allora la somma sara' la somma delle somme delle due. Cosi' si spiega anche il risultato sull'intervallo di convergenza che hai ottenuto.
Grande!! 
Ci vuole un po' di fantasia per queste convergenze...
Ci vuole un po' di fantasia per queste convergenze...
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