[ex] convergenza serie

[jitter1]

Perché se converge la serie $ sum_(k =1)^(+oo) \a_k $ allora converge assolutamente la serie $ sum_(k =1)^(+oo) \(a_k)/2^k $?
Penso che la risposta sia abbastanza immediata, ma non mi viene in mente. Se la serie fosse a termini positivi, allora potrei applicare il criterio del confronto considerando a $a_k/2^k Grazie mille!

[Rigel1]

Se \(\sum a_k\) è convergente, allora \(a_k\to 0\). In particolare, \((a_k)\) è limitata, cioè \(|a_k| \leq M\) per ogni \(k\).

[jitter1]

1) ... però anche ${1/n}$ tende a $0$ ed è limitata, ma la serie armonica è divertente... (pardon, divergente).
2) una volta ottenuto $|a_n/2^k| < M$, come concludo che la serie è divergente?
3)

"Rigel":Se \( \sum a_k \) è convergente, allora \( a_k\to 0 \). In particolare, \( (a_k) \) è limitata, cioè \( |a_k| \leq M \) per ogni \( k \).

Questo non comporterebbe che convergenza $->$ convergenza assoluta, mentre è il viceversa che vale?

[Rigel1]

Per ipotesi \(\sum a_k\) è convergente; per quanto detto, esiste \(M>0\) tale che \(|a_k| \leq M\) per ogni \(k\).
Di conseguenza
\[
\left| \frac{a_k}{2^k}\right| \leq \frac{M}{2^k}\,.
\]
Puoi adesso usare il criterio del confronto tenendo conto del fatto che la serie geometrica a secondo membro è convergente.