[EX] - Contrazione
Esercizio. Per \(\displaystyle n \ge 1 \) siano \(\displaystyle B= \{ x \in \mathbb{R}^{n} \; : \; |x| \le 1 \} \) e \(\displaystyle x_{0} \in B \) t.c. \(\displaystyle |x_{0}| \le \frac{1}{12} \).
Sia poi \(\displaystyle T: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^n \) la funzione \[\displaystyle T(x)=\frac{1}{4} x + \frac{1}{9} |x|^2 x + x_{0} \]
(i) Provare che \(\displaystyle T \) trasforma \(\displaystyle B \) in se, ovvero che \(\displaystyle T(B) \subset B \);
(ii) Provare che l'equazione \(\displaystyle T(x)=x \) ha una soluzione unica \(\displaystyle x \in B \).
Il punto (i) mi sembra semplice. Infatti \[\displaystyle |T(x)| = \left| \frac{1}{4} x + \frac{1}{9} |x|^2 x + x_{0} \right| \le \frac{1}{4}|x| + \frac{1}{9}|x|^3 + |x_{0}| \le \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} <1 \] ovvero \(\displaystyle T(x) \in B \).
Per risolvere in punto (ii) devo provare che \(\displaystyle T \) è una contrazione su \(\displaystyle B \), per poi poter concludere per il Banach fixed-point theorem. Devo ammettere che ho sputato un sacco di sangue, nonostante alla fine la maggiorazione che ho trovato sia elementare. \[\displaystyle |T(x) - T(y) | = \left| \frac{1}{4} x + \frac{1}{9} |x|^2 x - \frac{1}{4} y - \frac{1}{9} |y|^2 y \right| \le \frac{1}{4}|x-y| + \frac{1}{9} \left| |x|^2 x - |y|^2 y \right| \]
A questo punto osservo che \[\displaystyle \left| |x|^2 x - |y|^2 y \right|= \left| |x|^2 x - |y|^2 y + |x|^2 y - |x|^2 y \right| \le |x|^2 |x-y| +|y| \left| |x|^2 - |y|^2 \right| \] e quindi osservo pure che \[\displaystyle \left| |x|^2 - |y|^2 \right| = \left| (|x| - |y|)(|x| + |y|) \right| \le \left| |x| - |y| \right| \cdot \left| |x| + |y| \right| \] applicando poi la disuguaglianza triangolare inversa ho \[\displaystyle \left| |x| - |y| \right| \cdot \left| |x| + |y| \right| \le |x-y| \cdot \left| |x| + |y| \right| \]
Sono pronto per concludere: infatti la catena di disuguaglianze porge \[\displaystyle \left| |x|^2 x - |y|^2 y \right| \le |x|^2 |x-y| + (|x|+|y|)|x-y|=|x-y|(|x|^2 + |x| + |y|) \] e infine \[\displaystyle |T(x) - T(y) | \le |x-y| \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{9} (|x|^2 + |x| + |y|) \right] \le |x-y|\left[\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right] = \frac{7}{12}|x-y| \] dove quest'ultima uguaglianza vale se \(\displaystyle x, \; y \in B \).
Mi pare che sia corretto, ma sarei comunque lieto a chiunque fosse così pazzo da voler dare un'occhiata.
Ringrazio.
Sia poi \(\displaystyle T: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^n \) la funzione \[\displaystyle T(x)=\frac{1}{4} x + \frac{1}{9} |x|^2 x + x_{0} \]
(i) Provare che \(\displaystyle T \) trasforma \(\displaystyle B \) in se, ovvero che \(\displaystyle T(B) \subset B \);
(ii) Provare che l'equazione \(\displaystyle T(x)=x \) ha una soluzione unica \(\displaystyle x \in B \).
Il punto (i) mi sembra semplice. Infatti \[\displaystyle |T(x)| = \left| \frac{1}{4} x + \frac{1}{9} |x|^2 x + x_{0} \right| \le \frac{1}{4}|x| + \frac{1}{9}|x|^3 + |x_{0}| \le \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12} <1 \] ovvero \(\displaystyle T(x) \in B \).
Per risolvere in punto (ii) devo provare che \(\displaystyle T \) è una contrazione su \(\displaystyle B \), per poi poter concludere per il Banach fixed-point theorem. Devo ammettere che ho sputato un sacco di sangue, nonostante alla fine la maggiorazione che ho trovato sia elementare. \[\displaystyle |T(x) - T(y) | = \left| \frac{1}{4} x + \frac{1}{9} |x|^2 x - \frac{1}{4} y - \frac{1}{9} |y|^2 y \right| \le \frac{1}{4}|x-y| + \frac{1}{9} \left| |x|^2 x - |y|^2 y \right| \]
A questo punto osservo che \[\displaystyle \left| |x|^2 x - |y|^2 y \right|= \left| |x|^2 x - |y|^2 y + |x|^2 y - |x|^2 y \right| \le |x|^2 |x-y| +|y| \left| |x|^2 - |y|^2 \right| \] e quindi osservo pure che \[\displaystyle \left| |x|^2 - |y|^2 \right| = \left| (|x| - |y|)(|x| + |y|) \right| \le \left| |x| - |y| \right| \cdot \left| |x| + |y| \right| \] applicando poi la disuguaglianza triangolare inversa ho \[\displaystyle \left| |x| - |y| \right| \cdot \left| |x| + |y| \right| \le |x-y| \cdot \left| |x| + |y| \right| \]
Sono pronto per concludere: infatti la catena di disuguaglianze porge \[\displaystyle \left| |x|^2 x - |y|^2 y \right| \le |x|^2 |x-y| + (|x|+|y|)|x-y|=|x-y|(|x|^2 + |x| + |y|) \] e infine \[\displaystyle |T(x) - T(y) | \le |x-y| \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{9} (|x|^2 + |x| + |y|) \right] \le |x-y|\left[\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right] = \frac{7}{12}|x-y| \] dove quest'ultima uguaglianza vale se \(\displaystyle x, \; y \in B \).
Mi pare che sia corretto, ma sarei comunque lieto a chiunque fosse così pazzo da voler dare un'occhiata.
Ringrazio.
Risposte
Mi sembra corretto.
Grazie!
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