Ex - Comportamento di una serie al variare di un parametro
Avendo la serie $sum sqrt( 1 + x^n)/x^n$ mi si chiede di studiare la convergenza al variare del parametro $x$.
1) Per $x in (0 , +oo)$ è semplice dedurne il comportamento:
1.1) $x in (0,1]$ non converge (è violato il criterio necessario di convergenza).
[ Per $x = 1$ si ha $sum sqrt(2)$ ]
1.2) $x in (1,+oo)$ converge (per il criterio del rapporto).
Fin qui nessun problema.
Mi interessava sapere se è corretta la seguente parte:
2) Per $x in (-oo , 0)$:
2.1) $x in (-1 , 0)$ è una serie a termini di segno misto. In particolare alterni, infatti, detto $alpha = - 1/x$ , $alpha > 1$, la serie si può scrivere nella seguente maniera:
$sum (-alpha)^n sqrt( 1 + (- 1/alpha )^n ) = sum (- 1)^n (alpha)^n sqrt( 1 + (- 1/alpha )^n )$
Ora $(alpha)^n sqrt( 1 + (- 1/alpha )^n ) -> +oo$ al divergere di $n$. Quindi non c'è speranza che la serie converga.
2.2) $x = -1$ la serie è divergente. Infatti $s_(2n) = n * sqrt(2)$.
2.3) Ha senso studiarla per $x < -1$? Per certi indici la radice perde di significato...
Grazie.
1) Per $x in (0 , +oo)$ è semplice dedurne il comportamento:
1.1) $x in (0,1]$ non converge (è violato il criterio necessario di convergenza).
[ Per $x = 1$ si ha $sum sqrt(2)$ ]
1.2) $x in (1,+oo)$ converge (per il criterio del rapporto).
Fin qui nessun problema.
Mi interessava sapere se è corretta la seguente parte:
2) Per $x in (-oo , 0)$:
2.1) $x in (-1 , 0)$ è una serie a termini di segno misto. In particolare alterni, infatti, detto $alpha = - 1/x$ , $alpha > 1$, la serie si può scrivere nella seguente maniera:
$sum (-alpha)^n sqrt( 1 + (- 1/alpha )^n ) = sum (- 1)^n (alpha)^n sqrt( 1 + (- 1/alpha )^n )$
Ora $(alpha)^n sqrt( 1 + (- 1/alpha )^n ) -> +oo$ al divergere di $n$. Quindi non c'è speranza che la serie converga.
2.2) $x = -1$ la serie è divergente. Infatti $s_(2n) = n * sqrt(2)$.
2.3) Ha senso studiarla per $x < -1$? Per certi indici la radice perde di significato...
Grazie.
Risposte
Ripropongo la questione...
Visto che non ti risponde nessuno..
Premetto che non ho ancora studiato le serie di funzioni, ma per quello che ne so di serie numeriche il punto 2.1 non mi convince, dovrei pensarci meglio però da quello che vedo lì hai una forma di indecisione $+oo-oo$. Anche se mi è piaciuto come hai girato l'espressione della serie! Per il resto mi sembra giusto, sul punto 2.3 concordo!
Premetto che non ho ancora studiato le serie di funzioni, ma per quello che ne so di serie numeriche il punto 2.1 non mi convince, dovrei pensarci meglio però da quello che vedo lì hai una forma di indecisione $+oo-oo$. Anche se mi è piaciuto come hai girato l'espressione della serie! Per il resto mi sembra giusto, sul punto 2.3 concordo!
Neanche io ho fatto le serie di funzioni. Sto facendo le serie numeriche dipendenti da un parametro (c'è qualche differenza?).
Grazie della risposta comunque.
Grazie della risposta comunque.
Lascia stare le serie di funzioni, mi sa che ho detto una cavolata.
Comunque guardandola meglio effettivamente diverge per $x in (-1,0)$, quindi mi sa che hai ragione anche su quello.
Comunque guardandola meglio effettivamente diverge per $x in (-1,0)$, quindi mi sa che hai ragione anche su quello.
2.3) No, non ha senso.
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