[EX] CdL in Mate II° anno Problema di Cauchy
Propongo questo esercizio di esame ( 9 punti ) intrigante e assai impegnativo almeno per me...
Sia $Phi $ la soluzione locale del PdC :
(*) $y'= y/x -sqrt(xy) ; y(1)= 9/4 $.
i) Determinare l'espressione esplicita e il più ampio intervallo in cui si risolve la (*).
ii) Verificare che è possibile prolungare $Phi$ in modo $C^1 $ ad una funzione che risolve (*) in $ ( 0,+oo) $ e discutere unicità del prolungamento.
iii) Verificare che è possibile prolungare $Phi $ in modo $C^1 $ ad una funzione che risolve (*) in $(-oo,+oo) $ .Non è richiesta discussione sull'unicità di tale prolungamento.
Sia $Phi $ la soluzione locale del PdC :
(*) $y'= y/x -sqrt(xy) ; y(1)= 9/4 $.
i) Determinare l'espressione esplicita e il più ampio intervallo in cui si risolve la (*).
ii) Verificare che è possibile prolungare $Phi$ in modo $C^1 $ ad una funzione che risolve (*) in $ ( 0,+oo) $ e discutere unicità del prolungamento.
iii) Verificare che è possibile prolungare $Phi $ in modo $C^1 $ ad una funzione che risolve (*) in $(-oo,+oo) $ .Non è richiesta discussione sull'unicità di tale prolungamento.
Risposte
La ODE è di Bernoulli , equazione quindi del tipo : $ y' =P(x) y+Q(x) y^alpha $ con $alpha ne 1,ne 0 $
[Nel nostro caso è $y'=1/x *y-x^(1/2)*y^(1/2) $ con $ alpha = 1/2 ; x ne 0 $.]
Se $y ne 0 $ divido per $ y^alpha $ ottenendo :
$y^(-alpha)*y' = P(x) y^(1-alpha) +Q(x) $
Ponendo $z= y^(1-alpha) $ si ottiene $z' = (1-alpha)y^(-alpha)y' $ e quindi $z $ è soluzione dell'equazione lineare :
$z' = (1-alpha) P(x) z+(1-alpha) Q(x) $.
[Nel nostro caso è : $z' = 1/(2x)z -1/2 sqrt(x)$.]
La soluzione è data dalla classica formula per le equazioni lineari di primo grado :
$z(x)= C e^(-A(x) ) +(1-alpha) e^(-A(x)) int Q(x) e^(A(x))dx $ dove : $A(x)= (alpha-1) intP(x) dx $.
[Nel nostro caso è . $A(x)= -1/2int 1/x dx = -1/2 ln x $
$ z(x)= Ce^(1/2lnx )+1/2 e^(1/2lnx) int (-sqrt(x) e^(-1/2lnx)) dx = Csqrt(x) -1/2 sqrt(x) int dx = Csqrt(x) -1/2x^(3/2) $.]
Il problema però richiede $y(x)= (z(x))^(1/(1-alpha))= z^2(x) $
Quanto vale $z(1) ?$ Considero che $y(1)= 9/4=z^2(1)$ . Quindi $z(1)=3/2 $ da cui determino $C : z(1) = 3/2= C-1/2$ e infine $C =2 $
Pertanto $y(x) =(2sqrt(x) -1/2x^(3/2))^2 = 1/4x^3-2x^2+4x $
E la soluzione $z(1)= -3/2 $ che fine fa ??
La soluzione del PdC , che come dice gugo è unica in quanto il II membro della EDO è localmente lipschitziano in y (derivata limitata ) uniformemnet rispetto ad x intorno al punto iniziale $ ( 1,9/4)$ vale
$Phi(x)= x^3/4-2x^2+4x $
ed è :
-strettamente crescente in quanto $Phi'(1)= 9/4-sqrt(9/4) = 3/4 > 0 $
-Concava in quanto $Phi''(1) = -5/2 < 0 $.
La funzione $Phi(x) $ non è definita in $x=0 $ ma è prolungabile essendo $lim_(x rightarrow 0) Phi(x)=0 $ , costruendo una nuova funzione $Phi ^(*)(x)= Phi(x) $per $0
Prolungamento a funzione che risolve la EDO in $ (-oo , +oo ) $ : ??
[Nel nostro caso è $y'=1/x *y-x^(1/2)*y^(1/2) $ con $ alpha = 1/2 ; x ne 0 $.]
Se $y ne 0 $ divido per $ y^alpha $ ottenendo :
$y^(-alpha)*y' = P(x) y^(1-alpha) +Q(x) $
Ponendo $z= y^(1-alpha) $ si ottiene $z' = (1-alpha)y^(-alpha)y' $ e quindi $z $ è soluzione dell'equazione lineare :
$z' = (1-alpha) P(x) z+(1-alpha) Q(x) $.
[Nel nostro caso è : $z' = 1/(2x)z -1/2 sqrt(x)$.]
La soluzione è data dalla classica formula per le equazioni lineari di primo grado :
$z(x)= C e^(-A(x) ) +(1-alpha) e^(-A(x)) int Q(x) e^(A(x))dx $ dove : $A(x)= (alpha-1) intP(x) dx $.
[Nel nostro caso è . $A(x)= -1/2int 1/x dx = -1/2 ln x $
$ z(x)= Ce^(1/2lnx )+1/2 e^(1/2lnx) int (-sqrt(x) e^(-1/2lnx)) dx = Csqrt(x) -1/2 sqrt(x) int dx = Csqrt(x) -1/2x^(3/2) $.]
Il problema però richiede $y(x)= (z(x))^(1/(1-alpha))= z^2(x) $
Quanto vale $z(1) ?$ Considero che $y(1)= 9/4=z^2(1)$ . Quindi $z(1)=3/2 $ da cui determino $C : z(1) = 3/2= C-1/2$ e infine $C =2 $
Pertanto $y(x) =(2sqrt(x) -1/2x^(3/2))^2 = 1/4x^3-2x^2+4x $
E la soluzione $z(1)= -3/2 $ che fine fa ??
La soluzione del PdC , che come dice gugo è unica in quanto il II membro della EDO è localmente lipschitziano in y (derivata limitata ) uniformemnet rispetto ad x intorno al punto iniziale $ ( 1,9/4)$ vale
$Phi(x)= x^3/4-2x^2+4x $
ed è :
-strettamente crescente in quanto $Phi'(1)= 9/4-sqrt(9/4) = 3/4 > 0 $
-Concava in quanto $Phi''(1) = -5/2 < 0 $.
La funzione $Phi(x) $ non è definita in $x=0 $ ma è prolungabile essendo $lim_(x rightarrow 0) Phi(x)=0 $ , costruendo una nuova funzione $Phi ^(*)(x)= Phi(x) $per $0
Prolungamento a funzione che risolve la EDO in $ (-oo , +oo ) $ : ??
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