[Ex Analisi I(ma non solo..)] Confutare o dimostrare
$f:[a,b] to RR" t.c. "f in C^0([a,b]),f$ è convessa(cosa che allarga la classe di continuità della $f$ appena ipotizzata..)
e $f(a)f(b)<0rArr EE_1 xi in (a,b) t.c. f(xi)=0$:
le interpretazioni grafiche sono ben accette,ma solo come ausilio alla comprensione ed alla ricerca della tecnica dimostrativa idonea o(in senso disgiunto
)della costruzione d'un controesempio.
Saluti dal web.
e $f(a)f(b)<0rArr EE_1 xi in (a,b) t.c. f(xi)=0$:
le interpretazioni grafiche sono ben accette,ma solo come ausilio alla comprensione ed alla ricerca della tecnica dimostrativa idonea o(in senso disgiunto
)della costruzione d'un controesempio.Saluti dal web.
Risposte
Se non si suppone anche l'unicità della radice...
Supponiamo per assurdo che \(\displaystyle f(a)f(b)<0 \) con \(\displaystyle f \) continua, ma senza una radice nell'intervallo.
Consideriamo allora un insieme \(\displaystyle U ={ x|f(x)<0 } \) .
Questo insieme sarà dotato di estremo superiore che chiamiamo \(\displaystyle s \leq b \).
Per l'ipotesi fatta, f(s) sarà o maggiore o minore di zero.
Se maggiore:
vuol dire che per un opportuno intorno inferiore di \(\displaystyle s \), \(\displaystyle f(x)>0 \), assurdo.
Se minore:
vuol dire che per un opportuno intorno superiore di \(\displaystyle s \), \(\displaystyle f(x)<0 \), assurdo.
Se supponiamo anche che la radice sia unica...
Dimezziamo \(\displaystyle [a, b] \) in due sottointervalli \(\displaystyle [a, c] \) e \(\displaystyle [c, b] \).
Se \(\displaystyle f(c) = 0 \), dimostrazione conclusa.
\(\displaystyle f(a)f(c)<0 \Rightarrow \) continuo l'analisi nell'intervallo \(\displaystyle [a, c] \), altrimenti in \(\displaystyle [c, b] \).
Proseguendo con questa tecnica otteniamo dei sottointervalli di ampiezza che tende a zero: \(\displaystyle \frac{b-a}{2^{n}} \).
Poiché la radice è unica l'intervallo scelto come successivo sarà sempre quello che la contiene, e poiché la sua ampiezza tende ad annullarsi, ci si riduce ad un punto: la radice stessa.
Supponiamo per assurdo che \(\displaystyle f(a)f(b)<0 \) con \(\displaystyle f \) continua, ma senza una radice nell'intervallo.
Consideriamo allora un insieme \(\displaystyle U ={ x|f(x)<0 } \) .
Questo insieme sarà dotato di estremo superiore che chiamiamo \(\displaystyle s \leq b \).
Per l'ipotesi fatta, f(s) sarà o maggiore o minore di zero.
Se maggiore:
vuol dire che per un opportuno intorno inferiore di \(\displaystyle s \), \(\displaystyle f(x)>0 \), assurdo.
Se minore:
vuol dire che per un opportuno intorno superiore di \(\displaystyle s \), \(\displaystyle f(x)<0 \), assurdo.
Se supponiamo anche che la radice sia unica...
Dimezziamo \(\displaystyle [a, b] \) in due sottointervalli \(\displaystyle [a, c] \) e \(\displaystyle [c, b] \).
Se \(\displaystyle f(c) = 0 \), dimostrazione conclusa.
\(\displaystyle f(a)f(c)<0 \Rightarrow \) continuo l'analisi nell'intervallo \(\displaystyle [a, c] \), altrimenti in \(\displaystyle [c, b] \).
Proseguendo con questa tecnica otteniamo dei sottointervalli di ampiezza che tende a zero: \(\displaystyle \frac{b-a}{2^{n}} \).
Poiché la radice è unica l'intervallo scelto come successivo sarà sempre quello che la contiene, e poiché la sua ampiezza tende ad annullarsi, ci si riduce ad un punto: la radice stessa.
Che la radice sia unica è proprio quello che devi dimostrare. Il fatto che esista una radice è una cosa ovvia per la continuità di $f$ e il teorema del valor medio.
Supponi che ce ne siano due e vedi subito che \((x,y)\ge (x,f(x))\) non è convesso.
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