[Ex] 6 esercizi sulle Serie

[Noisemaker]

ho alcuni dubbi sulla soluzione di questo tipo di esercizi .. posto le mie soluzioni

[size=150]1[/size]

$\mbox{Sia} $ $a_n>0$ $\mbox{una successione tale che}$
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =L<1.
\end{align*}
$\mbox{Provare che la serie }$
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\, (-1)^n \frac{\left(a_{n+1}\right)^2}{a_n}
\end{align*}
$\mbox{Converge}$

Soluzione

La serie è a segno alterno; considerando il valore assoluto del termine generale, si ha:
\begin{align*}
\left|(-1)^n \frac{\left(a_{n+1}\right)^2}{a_n}\right|=\left| \frac{\left(a_{n+1}\right)^2}{a_n}\right|= \frac{\left(a_{n+1}\right)^2}{a_n}
\end{align*}
ora, poichè $ \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =L<1$ segue che certamente $0< L<1$ perchè $a_n\to 0$ (rapporto per successioni) allora \begin{align*} \exists N:\forall n\ge N,\quad a_{n+1}\le La_n\end{align*}
e dunque
\begin{align*}
\frac{\left(a_{n+1}\right)^2}{a_n}\le \frac{ (L\cdot a_n)^2}{a_n}=L^2\cdot a_n\to \mbox{converge}
\end{align*}

infatti la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n $ è convergente per il criterio del rapporto poichè $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =L<1,$ e dunque per confronto anche la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{ (a_{n+1} )^2}{a_n}$ converge assolutamente e dunque semplicemente

[size=150]2[/size]

$\mbox {Sia}$ $a_n>0$ $\mbox{una successione tale che}$
\begin{align*}
\lim_{n \to +\infty}\frac{a_n}{n}=L,\quad L\in(0;+\infty)
\end{align*}
$\mbox {si dimostri che la serie} $
\begin{align*}\sum_{n=0}^\infty\,\, \frac{1}{e^{a_n} },\end{align*}
$\mbox { è convergente} $

Soluzione

Poichè la successione $a_n$ è positiva, la serie è a termini positivi, e quindi o converge o diverge (non oscilla); distinquiamo i due casi a seconda che $L$ sia un numero reale, positivo, o sia $+\infty:$

[-] se $ \lim_{n \to +\infty}\frac{a_n}{n}=L\in\mathbb{R^+}:$ in questo caso $L$ è un numero reale: allora $a_n$ è infinito dello stesso ordine di $n$:
\begin{align*}
\lim_{n \to +\infty}\frac{a_n}{n}=L \,\,\,\Rightarrow\,\,\,a_n\sim Ln
\end{align*}
e dunque la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty\,\, \frac{1}{e^{a_n} }\sim\sum_{n=0}^\infty\,\, \frac{1}{e^{Ln} }=\sum_{n=0}^\infty\,\, \left(\frac{1}{e^{L} }\right)^n\to \text{converge}
\end{align*}
allora per confronto con la serie geometrica di ragione $\frac{1}{e^{L} },$ con $L>0$, la serie converge;
[-] se $ \lim_{n \to +\infty}\frac{a_n}{n}=+\infty:$ in questo caso $L=+\infty$ allora $a_n$ necessariamente dovrà divergere:
\begin{align*}
\lim_{n \to +\infty}\frac{a_n}{n}=+\infty \,\,\,\Rightarrow\,\,\,\lim_{n \to +\infty} a_n =+\infty
\end{align*}
dunque considerando la serie e applicando il criterio del rapporto, otteniamo:
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty\,\, \frac{1}{e^{a_n} }\stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{e^{a_{n+1}}}\cdot e^{a_n}=\frac{1}{e} \end{align*}

[size=150]
3[/size]

$\mbox{Si dimostri che , se}$ $a_n\ge0,$ $\mbox{la convergenza della serie}$ $\sum_{n=1}^\infty a_n$ $\mbox {implica la convergenza di }$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{a_n}}{n}$

Soluzione

La serie convergente $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ è certamente a termini positivi ; considerando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n\,\,a_kb_k\le\sum_{k=1}^n\,\,a^2_k+\sum_{k=1}^n\,\,b^2_k
\end{align*}
abbiamo nel nostro caso, considerando la successione delle somme parziali:
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n\,\,\frac{1}{n}\cdot\sqrt{a_n}\le\sum_{k=1}^n\,\,\frac{1}{n^2}+\sum_{k=1}^n\,\,a_n
\end{align*}
allora il tremine generale della serie $ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{a_n}}{n}$ è maggiorato dalla somma di due termini generali di due serie convergneti (e dunque converge per linearità), e dunque converge.

[size=150]4[/size]

$\mbox{Sia}$ $b_n$ $\mbox{una successione tale che } $
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2}.
\end{align*}
$\mbox{Posto}$ $a_n=b_{2n},$ $\mbox{provare che le due serie}$ $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ $\mbox{e}$ $ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n $ $\mbox{convergono}$

Soluzione

Non avendo specificazioni sui termini della successione $b_n,$ dobbiamo supporre possa assumere qualsiasi valore, e dunque non necessariamente mantenere segno costante (positivo o negativo); Supponiamo allora inizialmente $b_n>0$; in tal caso la serie
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\,\, b_n \quad \to\quad\text{converge per il rapporto, poichè}\quad \lim_{n \to \infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{1}{2} \end{align*}
Per definizione, $a_n=b_{2n},$ è una sottosuccessione di $b_n$: allora, ogni sottosuccessione estratta da una sucessione convergente, risulterà convergente allo stesso limite; quindi avremo:
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}a_n=b_{2n} =0\quad \Rightarrow\quad \lim_{n \to \infty}\frac{b_{2(n+1)}}{b_{2n}} =\lim_{n \to \infty}\frac{a_{ n+1 }}{a_ n }=\frac{1}{2} \end{align*}
Allora per il criterio del rapporto, anche la serie $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ risulterà convergente; essendo infine $ \sum_{n=1}^\infty |(-1)^n a_n|=\sum_{n=1}^\infty |a_n| $ convergente, allora anche la serie $ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n $ risulterà assolutamente convergente, e dunque convergente.

[size=150]5[/size]

$\mbox{Sia}$ $a_n$ $\mbox{una successione tale che}$ $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ $\mbox{converge assolutamente; cosa si può dire della serie}$ $ \sum_{n=1}^\infty a^2_n ?$ $\mbox{E se la serie}$ $ sum_{n=1}^\infty a_n $ $\mbox{converge solo semplicemente?}$

Soluzione

Poichè la serie $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ converge assoultamente avremo che $ \lim_{n \to \infty}|a_n|=0$ e quindi $\lim_{n \to \infty}a_n=0;$ posto $\varepsilon=1$ nella definizione di limite, avremo
\begin{align*}
|a_n|<1 \quad \to\quad-1 \end{align*}
e poichè $ a_n $ è il termine generale di una serie assolutamente convergente, per confronto anche la serie di termine generale $ a^2_n $ risulterà assolutamente convergente.

Se la serie $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ converge semplicemente, avremo che $ \lim_{n \to \infty} a_n =0 $ e quindi $\lim_{n \to \infty}|a_n|=0$ e dunque procedendo come nel caso precedente si conclude che la serie $ \sum_{n=1}^\infty a^2_n $ riuslta convergente.

[size=150]
6[/size]

$\mbox{Siano}$ $a_n,b_n$ $\mbox{due successioni in}$ $\mathbb{R},$ $\mbox{con}$ $b_n\ge0$ $\mbox{per ogni}$ $n \in \mathbb{N}, $ $\mbox{e tali che }$

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=3. \qquad\qquad\qquad (1)
\end{align*}
$\mbox{Dimostrare:}$

[-] $\mbox{che la serie}$ $ \sum_{n=1}^\infty a_n $ $ \mbox{ non può essere indeterminata;}$

[-] $\mbox{provare che se vale}$ $(1),$ $\mbox{allora}$ $\sum_{n=1}^\infty a_n $ $\mbox{e}$ $ \sum_{n=1}^\infty b_n $ $\mbox{possono avere lo stesso comportamento o no.}$

Soluzione

[-] Affinchè la serie $ \sum a_n $ non sia indeterminata, il termine generale dev'essere positivo, quindi si tratta di dimostrare che la successione $a_n>0;$ poichè per ipotesi abbiamo che
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=3 \Rightarrow a_n-b_n>0\quad\text{quindi}\quad a_n>b_n
\end{align*}
per la permanenza del segno, ed essendo per ipotesi $b_n>0$ allora anche $a_n>0.$ La serie $ \sum a_n $ o converge o diverge, ma non può essere indeterminata.
[-] Se vale la $(1)$ allora abbiamo che $b_n

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Risposte

Rigel1

18 nov 2012, 07:31

Il 5 non va bene. La disuguaglianza corretta è \(a_n^2 \leq |a_n|\) definitivamente, dalla quale deduci la convergenza di \(\sum a_n^2\) se sai che \(\sum |a_n|\) è convergente.
D'altra parte, se \(\sum a_n\) è solo semplicemente convergente, non è detto che \(\sum a_n^2\) sia convergente; lascio a te la ricerca di un controesempio (non è difficile: pensa a una opportuna serie a termini di segno alterno).

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Noisemaker

18 nov 2012, 07:56

"Rigel":Il 5 non va bene. La disuguaglianza corretta è \(a_n^2 \leq |a_n|\) definitivamente, dalla quale deduci la convergenza di \(\sum a_n^2\) se sai che \(\sum |a_n|\) è convergente.

la disuguaglianza mi sfugge ...io ho posto $\varepsilon=1$ nella definizione di limite, ed essendo $\lim_{ n \to\infty } |a_n| =0$ cioè $ |a_n|<1$ , ma non mi viene la tua disuguaglianza.....

"Rigel":D'altra parte, se \(\sum a_n\) è solo semplicemente convergente, non è detto che \(\sum a_n^2\) sia convergente; lascio a te la ricerca di un controesempio (non è difficile: pensa a una opportuna serie a termini di segno alterno).

infatti...ad esempio se considero
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\quad\to\mbox{converge, ma}\qquad\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)^2\quad\to\mbox{diverge }
\end{align*}

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Rigel1

18 nov 2012, 08:02

"Noisemaker":la disuguaglianza mi sfugge ...io ho posto $\varepsilon=1$ nella definizione di limite, ed essendo $\lim_{ n \to\infty } |a_n| =0$ cioè $ |a_n|<1$ , ma non mi viene la tua disuguaglianza.....

Parti da \(|a_n| < 1\) e moltiplichi ambo i membri per \(|a_n|\).

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Noisemaker

18 nov 2012, 08:13

"Rigel":[quote="Noisemaker"]la disuguaglianza mi sfugge ...io ho posto $\varepsilon=1$ nella definizione di limite, ed essendo $\lim_{ n \to\infty } |a_n| =0$ cioè $ |a_n|<1$ , ma non mi viene la tua disuguaglianza.....

Parti da \(|a_n| < 1\) e moltiplichi ambo i membri per \(|a_n|\).[/quote]

aahhhhh...quando guardi e non vedi le cose!

\begin{align*} |a_n|<1 \quad \to\quad-1
io ho sbagliato perchè nella mia testa piena di ragnatele ho supposto che $a_n>0$, cosa che il problema non dice... quindi moltiplicare per $|a_n|$ ha senso ...e non come ho fatto io....

grazie!

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Rigel1

18 nov 2012, 08:34

Si può anche risparmiare qualche passaggio:
\[
|a_n| \leq 1 \ \Longrightarrow\ |a_n| \cdot |a_n| \leq |a_n|,
\]
vale a dire \(a_n^2 \leq |a_n|\).

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Noisemaker

18 nov 2012, 09:07

si .. in effetti hai ragione

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Noisemaker

18 nov 2012, 09:38

aggiunto un punto $6$

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DajeForte

18 nov 2012, 11:55

Nel 6 la $sum_n a_n$ non puo' convergere perche' $a_n>b_n+1 >= 1$. Daltronde se convrgesse allora convergerebbe anche $sum_n b_n$ ma allora anche la differenza e dunque $a_n-b_n to 0$.

Nel primo poi quando dici $0 Inoltre $exists N : forall n>=N \quad a_{n+1}<=La_n$ non e' vero. Vale che $forall varepsilon > 0 \ \ exists N : forall n>=N \quad a_{n+1}<=(L+varepsilon)a_n$.

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[Rigel1]

Il 5 non va bene. La disuguaglianza corretta è \(a_n^2 \leq |a_n|\) definitivamente, dalla quale deduci la convergenza di \(\sum a_n^2\) se sai che \(\sum |a_n|\) è convergente.
D'altra parte, se \(\sum a_n\) è solo semplicemente convergente, non è detto che \(\sum a_n^2\) sia convergente; lascio a te la ricerca di un controesempio (non è difficile: pensa a una opportuna serie a termini di segno alterno).

[Noisemaker]

"Rigel":Il 5 non va bene. La disuguaglianza corretta è \(a_n^2 \leq |a_n|\) definitivamente, dalla quale deduci la convergenza di \(\sum a_n^2\) se sai che \(\sum |a_n|\) è convergente.

la disuguaglianza mi sfugge ...io ho posto $\varepsilon=1$ nella definizione di limite, ed essendo $\lim_{ n \to\infty } |a_n| =0$ cioè $ |a_n|<1$ , ma non mi viene la tua disuguaglianza.....

"Rigel":D'altra parte, se \(\sum a_n\) è solo semplicemente convergente, non è detto che \(\sum a_n^2\) sia convergente; lascio a te la ricerca di un controesempio (non è difficile: pensa a una opportuna serie a termini di segno alterno).

infatti...ad esempio se considero
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\quad\to\mbox{converge, ma}\qquad\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)^2\quad\to\mbox{diverge }
\end{align*}

[Rigel1]

"Noisemaker":la disuguaglianza mi sfugge ...io ho posto $\varepsilon=1$ nella definizione di limite, ed essendo $\lim_{ n \to\infty } |a_n| =0$ cioè $ |a_n|<1$ , ma non mi viene la tua disuguaglianza.....

Parti da \(|a_n| < 1\) e moltiplichi ambo i membri per \(|a_n|\).

[Noisemaker]

"Rigel":[quote="Noisemaker"]la disuguaglianza mi sfugge ...io ho posto $\varepsilon=1$ nella definizione di limite, ed essendo $\lim_{ n \to\infty } |a_n| =0$ cioè $ |a_n|<1$ , ma non mi viene la tua disuguaglianza.....

Parti da \(|a_n| < 1\) e moltiplichi ambo i membri per \(|a_n|\).[/quote]

aahhhhh...quando guardi e non vedi le cose!

\begin{align*} |a_n|<1 \quad \to\quad-1
io ho sbagliato perchè nella mia testa piena di ragnatele ho supposto che $a_n>0$, cosa che il problema non dice... quindi moltiplicare per $|a_n|$ ha senso ...e non come ho fatto io....

grazie!

[Rigel1]

Si può anche risparmiare qualche passaggio:
\[
|a_n| \leq 1 \ \Longrightarrow\ |a_n| \cdot |a_n| \leq |a_n|,
\]
vale a dire \(a_n^2 \leq |a_n|\).

[Noisemaker]

si .. in effetti hai ragione

[Noisemaker]

aggiunto un punto $6$

[DajeForte]

Nel 6 la $sum_n a_n$ non puo' convergere perche' $a_n>b_n+1 >= 1$. Daltronde se convrgesse allora convergerebbe anche $sum_n b_n$ ma allora anche la differenza e dunque $a_n-b_n to 0$.

Nel primo poi quando dici $0 Inoltre $exists N : forall n>=N \quad a_{n+1}<=La_n$ non e' vero. Vale che $forall varepsilon > 0 \ \ exists N : forall n>=N \quad a_{n+1}<=(L+varepsilon)a_n$.