\(e^{tJ_n(\lambda)}\)
Ciao, amici! Posto qui perché si tratta di un argomento un po' a cavallo tra analisi ed algebra lineare, essendo il mio principale dubbio a proposito di una serie...
Studiando la forma canonica di Jordan di una matrice sono giunto* alla conclusione (che spero giusta e chiedo di correggermi a chi vi trovi un errore) che i coefficienti di una generica matrice \(J_n(\lambda)^k\) sono
\[ (J_n(\lambda)^k)_{ij}= \begin{cases} \begin{pmatrix}k\\j-i\end{pmatrix}\lambda^{k+i-j}\text{ se }j-k\leq i\leq j\\0\text{ negli altri casi}\end{cases} \]
Volevo con questo calcolarmi i coefficienti di \(e^{tJ_n(\lambda)}\) che, a nord-est della diagonale principale, sotto la quale sono invece nulli, direi debbano essere
$(e^{tJ_n(\lambda)})_{ij}=\sum_{k=j-i}^{\infty} ((k),(j-i)) \frac{\lambda^{k-j+i}t^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty} ((k+j-i),(j-i)) \frac{\lambda^{k}t^{k+j-i}}{(k+j-i)!}=\frac{t^{j-i}e^{\lambdat}}{(j-i)!}$
Vi sembra giusto?
$\sum_{k=1}^{\infty}"grazie"_k$ a tutti!
*Ho notato che $J_n(\lambda)=\Lambda+U$ dove $U$ è una matrice triangolare alta con tutti 1 sulla diagonale non principale subito sopra quella principale e tutti 0 altrove e $\Lambda=\text{diag}(\lambda)$ e che sono commutative le moltiplicazioni tra $\lambda$ e $U$, quindi, dalla formula di Newton, direi che $J_n(\lambda)^k=\sum_{m=0}^{k} ((k),(m)) \lambda^{k-m} U^m$. Ogni successiva potenza di $U$, grossolanamente parlando, "sposta a destra la diagonale di coefficienti unitari" (che quindi si accorcia) e \(U\in M_n(\mathbb{R}),k\geq n\Rightarrow U^k=\mathbf{0}\).
Studiando la forma canonica di Jordan di una matrice sono giunto* alla conclusione (che spero giusta e chiedo di correggermi a chi vi trovi un errore) che i coefficienti di una generica matrice \(J_n(\lambda)^k\) sono
\[ (J_n(\lambda)^k)_{ij}= \begin{cases} \begin{pmatrix}k\\j-i\end{pmatrix}\lambda^{k+i-j}\text{ se }j-k\leq i\leq j\\0\text{ negli altri casi}\end{cases} \]
Volevo con questo calcolarmi i coefficienti di \(e^{tJ_n(\lambda)}\) che, a nord-est della diagonale principale, sotto la quale sono invece nulli, direi debbano essere
$(e^{tJ_n(\lambda)})_{ij}=\sum_{k=j-i}^{\infty} ((k),(j-i)) \frac{\lambda^{k-j+i}t^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty} ((k+j-i),(j-i)) \frac{\lambda^{k}t^{k+j-i}}{(k+j-i)!}=\frac{t^{j-i}e^{\lambdat}}{(j-i)!}$
Vi sembra giusto?
$\sum_{k=1}^{\infty}"grazie"_k$ a tutti!
*Ho notato che $J_n(\lambda)=\Lambda+U$ dove $U$ è una matrice triangolare alta con tutti 1 sulla diagonale non principale subito sopra quella principale e tutti 0 altrove e $\Lambda=\text{diag}(\lambda)$ e che sono commutative le moltiplicazioni tra $\lambda$ e $U$, quindi, dalla formula di Newton, direi che $J_n(\lambda)^k=\sum_{m=0}^{k} ((k),(m)) \lambda^{k-m} U^m$. Ogni successiva potenza di $U$, grossolanamente parlando, "sposta a destra la diagonale di coefficienti unitari" (che quindi si accorcia) e \(U\in M_n(\mathbb{R}),k\geq n\Rightarrow U^k=\mathbf{0}\).
Risposte
Per quanto riguarda la k-esima potenza del blocco di Jordan \(J_n(\lambda)\) la Wikipedia sembra darmi ragione... A questo punto, se non ho sbagliato qualche conto nella serie, direi che la mia conclusione sia corretta...
Se qualcuno si accorge di qualche errore, gli sarei $oo$-mente grato se lo facesse notare...
Se qualcuno si accorge di qualche errore, gli sarei $oo$-mente grato se lo facesse notare...
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