Estremo sup/inf e max/min con derivata

[number15]

Ciao a tutti, devo sostenere l'esame di analisi; non capisco come svolgere gli esercizi in cui viene chiesto di determinare estremo sup. e inf. e dire se è max/min.
L'esercizio viene svolto usando le derivate.
Vi posto un paio di esempi di domande:
1)Sia E = {$x^4 - x^3 + 2$ : $o<=x<1$ }. determinare sup, inf e precisare se max, min.
2)Sia E= {$e^n - en$ : $n in N $ }
3)Sia E = {$|(x-pi)/(x+1)|$ : $x>=0$ }

Grazie

[misanino]

Viene svolto tramite le derivate perchè si tratta semplicemente di determinare massimo e minimo di una data funzione in un certo insieme.
Prendiamo ad esempio il primo esercizio:
hai la funzione $f(x)=x^4-x^3+2$ e l'insieme $0<=x<1$.
Per trovare massimi e minimi di una funzione sai che devi andare a studiare i punti in cui la derivata si annulla.
$f'(x)=4x^3-3x^2$.
Ora $f'(x)=0$ cioè $4x^3-3x^2=0$ cioè $x^2(4x-3)=0$ cioè $x=0$ e $x=3/4$.
Andiamo a vedere se questi sono punti di massimo o minimo.
$f'(x)>=0$ cioè $x^2(4x-3)>=0$ cioè $(4x-3)>=0$ cioè $x>=3/4$
Perciò $3/4$ è un punto di minimo per la tua funzione poichè la derivata prima è negativa e poi positiva.
Quindi puoi già concludere che il tuo insieme ha un minimo (e quindi anche un inf) in $x=3/4$ ed esso vale $f(3/4)=(3/4)^4-(3/4)^3+2$.
Ora la derivata tra 0 e $3/4$ è negativa e quindi in tale intervallo la funzione è monotona decrescente. Quindi in tale intervallo la funzione sarà maggiore in 0 rispetto a tutti gli altri punti.
Nell'intervallo tra $3/4$ e 1 invece la funzione è monotona crescente e quindi sarà maggiore in 1 rispetto agli altri punti dell'intervallo.
Devi quindi andare a verificare se la funzione è maggiore in 0 o in 1.
Nel caso sia maggiore in 0 (dato che 0 fa parte del tuo insieme) allora avrai un massimo.
Nel caso sia maggiore in 1 (dato che 1 non fa parte del dominio) allora avrai solo un sup, ma non un massimo.
Ora $f(0)=2$ mentre $f(1)=1-1+2=2$. I due valori coincidono e quindi avrai un massimo in $x=0$ ed esso vale $f(0)=2$.
Quindi il tuo insieme ha sia minimo sia massimo.
Il minimo è (3/4)^4-(3/4)^3+2
Il massimo è 2

[number15]

Intanto grazie mille per la risposta.
Provo a scriverti gli altri per vedere se ho capito.
Sia E= {$ e^n-en $ : n∈N }

f(x) = $ e^x - ex $
Faccio la derivata.
f'(x) = $ e^x - e $
Pongo la derivata $>=0$ per vedere le crescenze/decrescenze.
f'(x)$ >=0 $, $ e^x - e >= 0 $, $ x >=0 $. Ho la derivata che decresce da -inf a 0, e cresce da 0 a +inf,
quindi in 0 ho un minimo.

Ora sostituisco il valore trovato in f(x).
f(0) = $ e^0-0 = 1 $
Quindi ho max in 1!?!?

Ho dei problemi in alcuni esercizi, perché io il primo max o min lo stabilisco dal grafico, mentre vedo che il prof alcune volte va a sostituire il valore in f(x).
Es: $x^3 - 3x + 1 $ : $0 f'(x) = $3x^2 - 3$, $x<=-1 V x>=1$
Ora io mi aspetterei di avere un min in 1, perché cresce da -inf, -1, descresce da -1 a 1 e cresce da 1 a +inf,
mentre il prof mi mette Min -1, in quanto va a fare f(1) = -1.
Poi andando avanti io facevo:
f(0) = 1
f(2) = 3
ed essendo 3 maggiore di 1 dicevo che 3 è MAX.

Cioè vedo che a volte il valore del grafico lo si sostituisce al f(x), altre volte no.
Grazie mille comunque.

[misanino]

"number15":Intanto grazie mille per la risposta.
Provo a scriverti gli altri per vedere se ho capito.
Sia E= {$ e^n-en $ : n∈N }

f(x) = $ e^x - ex $
Faccio la derivata.
f'(x) = $ e^x - e $
Pongo la derivata $>=0$ per vedere le crescenze/decrescenze.
f'(x)$ >=0 $, $ e^x - e >= 0 $, $ x >=0 $

Qui c'è un errore.
Infatti $e^x-e>=0$ implica $e^x>=e$ e quindi $x>=1$!!

[number15]

Vero.
Quindi x >= 1.
Ora qua non capisco: ho min in x=1, e quindi devo andare a sostituirlo in f(x) per vedere quanto vale?

Il max non avendo i valori del dominio, faccio il lim con x che tende a +inf?

[misanino]

"number15":Vero.
Quindi x >= 1.
Ora qua non capisco: ho min in x=1, e quindi devo andare a sostituirlo in f(x) per vedere quanto vale?

Il max non avendo i valori del dominio, faccio il lim con x che tende a +inf?

Prima di tutto:
c'è grande differenza fra questo caso, in cui hai $n\inNN$ e non $x$ che varia in un certo intervallo come nel primo e nel terzo caso.
Torniamo allora un attimo al primo caso.
Come ti ho scritto io ho trovato dei massimi e dei minimi in certi valori di x.
Se guardi ciò che ho fatto io però è stato sostituire poi quei valori di x in f(x) e prendere quelli come massimi e minimi!!!
Infatti il tuo insieme (ad esempio nel primo caso) non è $0<=x<1$ bensì l'insieme dei $x^4-x^3+2$ quando $0<=x<1$.
Perciò il tuo insieme è costituito dai punti $x^4-x^3+2$ e per questo devi andare a prendere come massimi e minimi (o nel caso come sup e inf) i valori f(x) e non x!

Nel secondo caso la situazione è un po' diversa.
Hai infatti una successione e non una funzione poichè x non varia in un certo intervallo ma hai n che varia in $NN$.
Calcolare la derivata prima ti serve quindi per capire dove la successione è monotona crescente e dove decrescente.

[number15]

Quindi ci son 2 casi: uno in cui ho specificato un intervallo della x e uno in cui ho una successione.
Nel primo caso faccio la derivata, la pongo >= 0 e con il grafichetto trovo i punti della x in cui ho max/min e sostituisco il valore in f(x).
Per trovare l'altro punto vado a sostituire in f(x) i valori dell'intervallo dato. Se il punto è compreso allora è max(o min) altrimenti è un estremo. Corretto?

Nel caso della successione invece, dopo aver trovato il primo punto, come trovo l'altro?
Facendo il lim con n che tende a inf?
Mi puoi guardare gentilmente anche il secondo esercizio di un paio di post fa?
Grazie

[misanino]

"number15":Quindi ci son 2 casi: uno in cui ho specificato un intervallo della x e uno in cui ho una successione.
Nel primo caso faccio la derivata, la pongo >= 0 e con il grafichetto trovo i punti della x in cui ho max/min e sostituisco il valore in f(x).
Per trovare l'altro punto vado a sostituire in f(x) i valori dell'intervallo dato. Se il punto è compreso allora è max(o min) altrimenti è un estremo. Corretto?

Nel caso della successione invece, dopo aver trovato il primo punto, come trovo l'altro?
Facendo il lim con n che tende a inf?
Mi puoi guardare gentilmente anche il secondo esercizio di un paio di post fa?
Grazie

Certo che ti posso guidare! Solo che ora devo andar via
Stasera (magari verso le 18.00) ti posto i passaggi che si devono fare.
Per ora ti dico che per il primo punto ci siamo, anche se non è detto che trovi solo un punto di massimo o minimo. Può infatti darsi che trovi più massimi e più minimi e quindi devi confrontarli tra loro e prendere il maggiore dei massimi o il minore dei minimi.

Per il 2° punto invece sei fuori strada, ma la spiegazione è un po' più lunga e quindi te la do stasera

Nel frattempo prova a fare il 3° esercizio che si fa come nel primo punto (anche se aumenta un po' la difficoltà dato che c'è il modulo)

[number15]

Nessun problema... fortunatamente ho ancora una settimana prima dell'esame.
Il discorso che posso trovare più punti l'ho visto spesso nell'esercizio in cui viene chiesto di trovare i punti di max e min relativi e dire se son assoluti.

Posto lo svolgimento del 3 esercizio, che mi sembra venire.
Sia E = {$|(x-π)/(x+1)| : x≥0 $ }
f(x) = $|(x-π)/(x+1)|$. f'(x) = $(x+1 - (x-π))/(x+1)^2 sgn((x-π)/(x+1))$
f'(x) = $(1 + π))/(x+1)^2 sgn((x-π)/(x+1))$
Pongo f'(x)$>= 0$. Il primo pezzo è sempre maggiore di 0, quindi studio $((x-π)/(x+1)) >=0$
Ottengo x $>= π$ quindi ho un min in x = π.
f(π) = 0. Quindi MIN 0.
Ora dato l'intervallo iniziale, faccio
f(0) = π quindi essendo compreso nell'intervallo ho MAX π

[misanino]

"number15":Nessun problema... fortunatamente ho ancora una settimana prima dell'esame.
Il discorso che posso trovare più punti l'ho visto spesso nell'esercizio in cui viene chiesto di trovare i punti di max e min relativi e dire se son assoluti.

Posto lo svolgimento del 3 esercizio, che mi sembra venire.
Sia E = {$|(x-π)/(x+1)| : x≥0 $ }
f(x) = $|(x-π)/(x+1)|$. f'(x) = $(x+1 - (x-π))/(x+1)^2 sgn((x-π)/(x+1))$
f'(x) = $(1 + π))/(x+1)^2 sgn((x-π)/(x+1))$
Pongo f'(x)$>= 0$. Il primo pezzo è sempre maggiore di 0, quindi studio $((x-π)/(x+1)) >=0$

Fin qua molto bene.
Poi è sbagliato.
Devi studiare $((x-pi)/(x+1)) >=0$ e sai che per studiare una disequazione devi fare numeratore maggiore o uguale a 0, denominatore maggiore di 0 e fare il prodotto dei segni...

[number15]

Vero. Quindi ho $x<-1 V x >= π $. Ho quindi un max relativo in x = -1 e un min in x = π.
F(π) = 0. Quindi MIN 0.
Giusto?

[misanino]

"number15":Vero. Quindi ho $x<-1 V x >= π $. Ho quindi un max relativo in x = -1 e un min in x = π.

Fin qui è giusto.
Ora se l'intervallo in cui varia x andasse ad esempio da -10 a 10 allora non potresti ancora concludere nulla.
Cerchiamo infatti di capire dove può esserci il minimo.
Hai che tra -10 e -1 la derivata è positiva e quindi la funzione è crescente e qui e qui in questo intervallo la funzione è più piccola in -10.
Poi nell'intervallo da -1 a 10 la funzione ha un minimo in $pi$ e quindi in tale intervallo la funzione è appunto più piccola in $pi$.
Perciò la funzione assumerà minimo o in -10 o in $pi$ e per capire quale dei 2 è dovresti calcolare $f(-10)$ e $f(pi)$ e prendere quello più piccolo.

Nel nostro caso però l'intervallo è $x>=0$ e in tale intervallo la funzione ha solo minimo in $pi$ e quindi il minimo è $f(pi)$.
Ora tra 0 e $pi$ la derivata è decrescente e quindi la funzione è più grande in 0.
Dopo $pi$ invece la derivata è crescente e quindi la funzione sarà più grande all'infinito.
Perciò dobbiamo confrontare $f(0)$ e $\lim_{x \to \infty}f(x)$.
Se è più grande $f(0)$ avremo un massimo che è $f(0)$.
Se è più grande $\lim_{x \to \infty}f(x)$ avremo un sup (non un massimo!) che è appunto $\lim_{x \to \infty}f(x)$

[number15]

Ok, ci sono quasi.
Una cosa: ma il valore dell'intervallo di x che mi vien dato in partenza, lo devo mettere nel grafichetto
che faccio per vedere i max e min della derivata?
Cioè in questo caso io avevo fatto il grafico con:
crescente da -inf a -1, decrescente da -1 a π e crescente da π a +inf, mentre invece, visto che ho l'intervallo $x>= 0 $, il mio grafichetto deve partire da 0
e quindi decrescente da 0 a π e crescente da π a +inf giusto?

[misanino]

"number15":Ok, ci sono quasi.
Una cosa: ma il valore dell'intervallo di x che mi vien dato in partenza, lo devo mettere nel grafichetto
che faccio per vedere i max e min della derivata?
Cioè in questo caso io avevo fatto il grafico con:
crescente da -inf a -1, decrescente da -1 a π e crescente da π a +inf, mentre invece, visto che ho l'intervallo $x>= 0 $, il mio grafichetto deve partire da 0
e quindi decrescente da 0 a π e crescente da π a +inf giusto?

Esatto!

[number15]

Ne posto un paio di vario genere per vedere se ho capito tutto.
1)$x^3 - 3x + 1$ : $0 f'(x) = $3x^2 - 3 $
f'(x) $ >= 0 $ per $ x <= -1 V x>= 1 $. Faccio grafichetto aggiungendo l'intervallo dato
e ottengo decrescenza da 0 a 1 e crescenza da 1 a 2.
Quindi ho min in x = 1.
f(1) = -1 MIN -1
Ora devo vedere per x=2 e x=0.
f(0) = 1
f(2) = 3
Quindi essendo 3 > 1 ho MAX = 3 in x=2.
PS. (il fatto che 0 non sia compreso nell'intervallo essendo 0 < x e non $<=$ comporta qualcosa?)

2)$e^n - en$ : $n in N$
f'(n) = $e^n - e$
f'(n) $>= 0 $, $e^n > e$, n >= 1
Grafichetto con decrescenza da 0 a 1 (0 dato dall'intervallo di partenza) e crescenza da 1 a +inf,
quindi ho un min in n=1.
f(1) = e - e = 0 MIN 0
Per il max quindi devo vedere:
f(0) = 1
$\lim_{x \to \infty}f(x)$ = infty
Quindi non ho estremo superiore???

[misanino]

"number15":Ne posto un paio di vario genere per vedere se ho capito tutto.
1)$x^3 - 3x + 1$ : $0 f'(x) = $3x^2 - 3 $
f'(x) $ >= 0 $ per $ x <= -1 V x>= 1 $. Faccio grafichetto aggiungendo l'intervallo dato
e ottengo decrescenza da 0 a 1 e crescenza da 1 a 2.
Quindi ho min in x = 1.
f(1) = -1 MIN -1
Ora devo vedere per x=2 e x=0.
f(0) = 1
f(2) = 3
Quindi essendo 3 > 1 ho MAX = 3 in x=2.
PS. (il fatto che 0 non sia compreso nell'intervallo essendo 0 < x e non $<=$ comporta qualcosa?)

2)$e^n - en$ : $n in N$
f'(n) = $e^n - e$
f'(n) $>= 0 $, $e^n > e$, n >= 1
Grafichetto con decrescenza da 0 a 1 (0 dato dall'intervallo di partenza) e crescenza da 1 a +inf,
quindi ho un min in n=1.
f(1) = e - e = 0 MIN 0
Per il max quindi devo vedere:
f(0) = 1
$\lim_{x \to \infty}f(x)$ = infty
Quindi non ho estremo superiore???

Molto bene. Vedo che fai passi da giganti!!
Il primo esercizio è corretto.
Riguardo alla tua domanda:

"Ora devo vedere per x=2 e x=0.
f(0) = 1
f(2) = 3
Quindi essendo 3 > 1 ho MAX = 3 in x=2.
PS. (il fatto che 0 non sia compreso nell'intervallo essendo 0 < x e non $<=$ comporta qualcosa?)"

Dato che il massimo è in 2 e non in 0 ciò non comporta nulla.
Se invece fosse stata più grande f(0) allora avresti avuto un sup (non un max)

Il secondo esercizio è perfetto.

[number15]

Perfetto, quindi mi confermi che nel secondo esercizio non ho estremo superiore?!?
Grazie mille di tutto... se per caso fossi saggio anche di problema di cauchy, guarda l'altro mio post :d