Estremo superiore serie
Salve, mi servirebbe per un mio problema sapere una cosa, la mia ipotesi è basata su dei calcoli che ho fatto (che però potrei anche aver sbagliato essendo stati di 4-5 pagine senza esagerare) che in prima battuta non centrano con quello che vi sto per chiedere, diciamo che però ad essi sono un po' "sono legati"
La domanda è :
data una successione $ a_n inmathbb{C},\ \ninmathbb{Z}\ \t.c.\ sum_(-oo)^(+oo)|a_n|^2<+oo$.
Trovare il valore massimo, rispetto a tutte le possibili successioni, che può avere questao rapporto tra serie: $(sum_(1)^(+oo) Re{a_(-n) bar(a_n)})/(sum_(-oo)^(+oo)|a_n|^2)$, dove Re significa parte reale e la barretta vuol dire complesso coniugato.
Se i miei conti sono giusti (ma ripeto, questa domanda è legato in maniera molto indiretta ad essi), dovrebbe essere 1/2 il sup, e le successioni degli $a_n$ che la rendono massima quelle tali che $a_n=a_(-n)$ con $a_0=0$...Sarebeb per me molto prezioso saperlo il sup, anche se diverso da 1/2 nel caso avessi sbagliato, diciamo che è legato a un problema di "normalizzazione"
Naturalmente chiedo a voi poichè essendo matematici potete magari farmi sapere dandomi una dimostrazione precisa, e poi ho pensato che potevate trovarlo interessante
Se invece quell'espressione secondo voi non è limitata superiormente (ma non credo), mi servirebbe anche se possibile un controesempio che me lo mostri.
Grazie infinte per aver letto!
La domanda è :
data una successione $ a_n inmathbb{C},\ \ninmathbb{Z}\ \t.c.\ sum_(-oo)^(+oo)|a_n|^2<+oo$.
Trovare il valore massimo, rispetto a tutte le possibili successioni, che può avere questao rapporto tra serie: $(sum_(1)^(+oo) Re{a_(-n) bar(a_n)})/(sum_(-oo)^(+oo)|a_n|^2)$, dove Re significa parte reale e la barretta vuol dire complesso coniugato.
Se i miei conti sono giusti (ma ripeto, questa domanda è legato in maniera molto indiretta ad essi), dovrebbe essere 1/2 il sup, e le successioni degli $a_n$ che la rendono massima quelle tali che $a_n=a_(-n)$ con $a_0=0$...Sarebeb per me molto prezioso saperlo il sup, anche se diverso da 1/2 nel caso avessi sbagliato, diciamo che è legato a un problema di "normalizzazione"
Naturalmente chiedo a voi poichè essendo matematici potete magari farmi sapere dandomi una dimostrazione precisa, e poi ho pensato che potevate trovarlo interessante
Se invece quell'espressione secondo voi non è limitata superiormente (ma non credo), mi servirebbe anche se possibile un controesempio che me lo mostri.
Grazie infinte per aver letto!
Risposte
Beh, mi pare facile.
Per ogni [tex]$n$[/tex] hai:
[tex]$\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})\leq |\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})| \leq |a_{-n}\ \overline{a_n}|=|a_{-n}|\ |\overline{a_n}|=|a_{-n}|\ |a_n|$[/tex],
ergo:
[tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n}) \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_{-n}|\ |a_n| \stackrel{\text{C-S}}{\leq} \sqrt{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_{-n}|^2}\cdot \sqrt{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2$[/tex]
(qui [tex]$\stackrel{\text{C-S}}{\leq}$[/tex] vuol dire che ho maggiorato con Cauchy-Schwarz) e conseguentemente:
[tex]$\mathcal{R}[a]:=\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} \leq 1$[/tex];
analogamente si prova che [tex]$-1\leq \mathcal{R}[a]$[/tex].
L'estremo superiore di [tex]$\mathcal{R}[a]$[/tex] per [tex]$a\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] è [tex]$1$[/tex] ed esso è in realtà un massimo: infatti, basta prendere:
[tex]$a_n=\delta_{0,n}=\begin{cases} 0 &\text{, se $n\neq 0$} \\ 1 &\text{, se $n=0$}\end{cases}$[/tex]
per ottenere:
[tex]$\mathcal{R}[a]:= \frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} =\frac{1}{1} =1$[/tex];
più in generale, prendendo [tex]$a=(a_n)$[/tex] non nulla ed in guisa che per [tex]$n\geq 0$[/tex] si abbia [tex]$a_{-n}=a_n$[/tex] risulta:
[tex]$\mathcal{R}[a]:= \frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(a_n\ \overline{a_n})}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} =\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(|a_n|^2)}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} =\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|a_n|^2}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} =1$[/tex].
Quindi [tex]$\max_{\ell^2 (\mathbb{Z})} \mathcal{R} =1$[/tex]; credo che allo stesso modo si trovi [tex]$\min_{\ell^2 (\mathbb{Z})} \mathcal{R} =-1$[/tex].
P.S.: Si scrive "c'entrano"; il verbo centrare significa tutt'altro.
[mod="gugo82"]Sposto in Analisi.[/mod]
Per ogni [tex]$n$[/tex] hai:
[tex]$\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})\leq |\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})| \leq |a_{-n}\ \overline{a_n}|=|a_{-n}|\ |\overline{a_n}|=|a_{-n}|\ |a_n|$[/tex],
ergo:
[tex]$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n}) \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_{-n}|\ |a_n| \stackrel{\text{C-S}}{\leq} \sqrt{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_{-n}|^2}\cdot \sqrt{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2$[/tex]
(qui [tex]$\stackrel{\text{C-S}}{\leq}$[/tex] vuol dire che ho maggiorato con Cauchy-Schwarz) e conseguentemente:
[tex]$\mathcal{R}[a]:=\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} \leq 1$[/tex];
analogamente si prova che [tex]$-1\leq \mathcal{R}[a]$[/tex].
L'estremo superiore di [tex]$\mathcal{R}[a]$[/tex] per [tex]$a\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] è [tex]$1$[/tex] ed esso è in realtà un massimo: infatti, basta prendere:
[tex]$a_n=\delta_{0,n}=\begin{cases} 0 &\text{, se $n\neq 0$} \\ 1 &\text{, se $n=0$}\end{cases}$[/tex]
per ottenere:
[tex]$\mathcal{R}[a]:= \frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} =\frac{1}{1} =1$[/tex];
più in generale, prendendo [tex]$a=(a_n)$[/tex] non nulla ed in guisa che per [tex]$n\geq 0$[/tex] si abbia [tex]$a_{-n}=a_n$[/tex] risulta:
[tex]$\mathcal{R}[a]:= \frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(a_n\ \overline{a_n})}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} =\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\Re e(|a_n|^2)}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} =\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|a_n|^2}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2} =1$[/tex].
Quindi [tex]$\max_{\ell^2 (\mathbb{Z})} \mathcal{R} =1$[/tex]; credo che allo stesso modo si trovi [tex]$\min_{\ell^2 (\mathbb{Z})} \mathcal{R} =-1$[/tex].
P.S.: Si scrive "c'entrano"; il verbo centrare significa tutt'altro.
[mod="gugo82"]Sposto in Analisi.[/mod]
ah ok,...e le altre cose che ho detto son giuste? Son riuscito a stringere il campo ancora un po' e ho modifcato il post, mentre tu scivevi... non avrei mai pensato che alle 3 ci fosse qualcuno che avrebbe già isposto
Puoi controllare che quello che ho aggiunto sia corretto? mi pare di si comunque, mi sembra una diretta conseguenza della tua dimostrazione..
Se è giusto significa che anche il mio problema è giusto, evvai! POsso andare finalmente a dormire in pace !
Puoi controllare che quello che ho aggiunto sia corretto? mi pare di si comunque, mi sembra una diretta conseguenza della tua dimostrazione..
Se è giusto significa che anche il mio problema è giusto, evvai! POsso andare finalmente a dormire in pace !
L'estremo superiore è [tex]$=1$[/tex] ed è addirittura un massimo.
Vedi post precedente (che anche io stavo modificando!).
Vedi post precedente (che anche io stavo modificando!).
Dimostrare che il rapporto:
[tex]$\mathcal{R} [a]:=\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2}$[/tex]
assume tutti i valori in [tex]$[-1,1]$[/tex]; in altre parole, provare che comunque si fissi [tex]$r\in [-1,1]$[/tex] esiste un [tex]$a^r=(a_n^r)\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] tale che [tex]$\mathcal{R}[a^r]=r$[/tex].
[tex]$\mathcal{R} [a]:=\frac{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \Re e(a_{-n}\ \overline{a_n})}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |a_n|^2}$[/tex]
assume tutti i valori in [tex]$[-1,1]$[/tex]; in altre parole, provare che comunque si fissi [tex]$r\in [-1,1]$[/tex] esiste un [tex]$a^r=(a_n^r)\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] tale che [tex]$\mathcal{R}[a^r]=r$[/tex].
"gugo82":
L'estremo superiore è [tex]$=1$[/tex] ed è addirittura un massimo.
Vedi post precedente (che anche io stavo modificando!).
sì sì ma io ho cambiato il fatto che la somam di sopra va da 1 a $+oo$, non parte da meno infinito...
"antani":
[quote="gugo82"]L'estremo superiore è [tex]$=1$[/tex] ed è addirittura un massimo.
Vedi post precedente (che anche io stavo modificando!).
sì sì ma io ho cambiato il fatto che la somam di sopra va da 1 a $+oo$, non parte da meno infinito...[/quote]
Ah, non avevo notato... Ora vedo che si può fare (però prima pranzo un po'...
).
Dopo pranzo... Ho pensato questa cosa.
Vogliamo fare vedere che esiste una costante [tex]$L\in ]0,1[$[/tex] tale che [tex]$\mathcal{R}[a]\leq L$[/tex]; ciò equivale a dire che dobbiamo trovare una costante [tex]$L$[/tex] in modo che:
(*) [tex]$\mathcal{I}[a]:=\sum_{n=1}^{+\infty} \Re e(a_{-n}\ \overline{a_n}) \leq L\lVert a\rVert_2^2$[/tex]
valga per ogni [tex]$a\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex].
Prendiamo [tex]$a\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] e vediamo cosa succede ad [tex]$\mathcal{I}[\cdot ]$[/tex]; evidentemente, se poniamo [tex]$a_n=\alpha_n +\imath\ \beta_n$[/tex], troviamo:
[tex]$\mathcal{I}[a]=\sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_{-n}\alpha_n +\beta_{-n}\beta_n \stackrel{*}{\leq} \frac{1}{2}\ \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_n^2+\alpha_{-n}^2 +\sum_{n=1}^{+\infty} \beta_n^2+\beta_{-n}^2\right)$[/tex]
[tex]$ \leq \frac{1}{2}\ \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_n^2 +\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \beta_n^2\right)$[/tex]
[tex]$ \leq \frac{1}{2}\ \lVert a\rVert_2^2$[/tex]
(qui [tex]$\stackrel{*}{\leq}$[/tex] significa che ho maggiorato usando la disuguaglianza elementare [tex]$yx\leq \tfrac{1}{2} (x^2+y^2)$[/tex], con [tex]$x=\alpha_n, y=\alpha_{-n}$[/tex] e [tex]$x=\beta_n, y=\beta_{-n}$[/tex]).
Quindi vale la relazione (*) vale con [tex]$L=\tfrac{1}{2}$[/tex].
Inoltre [tex]$L$[/tex] è un valore assunto dal rapporto [tex]$\mathcal{R}[a]$[/tex]: infatti, come dicevi, basta prendere [tex]$a_0=0$[/tex], [tex]$a_{-n}=a_n \in [0,+\infty[$[/tex] per [tex]$n>0$[/tex] per ottenere:
[tex]$\mathcal{I}[a]=\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n|^2$[/tex] e [tex]$\lVert a\rVert_2^2=2\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n|^2$[/tex]
e perciò [tex]$\mathcal{R}[a]=\tfrac{1}{2}$[/tex].
Vogliamo fare vedere che esiste una costante [tex]$L\in ]0,1[$[/tex] tale che [tex]$\mathcal{R}[a]\leq L$[/tex]; ciò equivale a dire che dobbiamo trovare una costante [tex]$L$[/tex] in modo che:
(*) [tex]$\mathcal{I}[a]:=\sum_{n=1}^{+\infty} \Re e(a_{-n}\ \overline{a_n}) \leq L\lVert a\rVert_2^2$[/tex]
valga per ogni [tex]$a\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex].
Prendiamo [tex]$a\in \ell^2(\mathbb{Z})$[/tex] e vediamo cosa succede ad [tex]$\mathcal{I}[\cdot ]$[/tex]; evidentemente, se poniamo [tex]$a_n=\alpha_n +\imath\ \beta_n$[/tex], troviamo:
[tex]$\mathcal{I}[a]=\sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_{-n}\alpha_n +\beta_{-n}\beta_n \stackrel{*}{\leq} \frac{1}{2}\ \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha_n^2+\alpha_{-n}^2 +\sum_{n=1}^{+\infty} \beta_n^2+\beta_{-n}^2\right)$[/tex]
[tex]$ \leq \frac{1}{2}\ \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \alpha_n^2 +\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \beta_n^2\right)$[/tex]
[tex]$ \leq \frac{1}{2}\ \lVert a\rVert_2^2$[/tex]
(qui [tex]$\stackrel{*}{\leq}$[/tex] significa che ho maggiorato usando la disuguaglianza elementare [tex]$yx\leq \tfrac{1}{2} (x^2+y^2)$[/tex], con [tex]$x=\alpha_n, y=\alpha_{-n}$[/tex] e [tex]$x=\beta_n, y=\beta_{-n}$[/tex]).
Quindi vale la relazione (*) vale con [tex]$L=\tfrac{1}{2}$[/tex].
Inoltre [tex]$L$[/tex] è un valore assunto dal rapporto [tex]$\mathcal{R}[a]$[/tex]: infatti, come dicevi, basta prendere [tex]$a_0=0$[/tex], [tex]$a_{-n}=a_n \in [0,+\infty[$[/tex] per [tex]$n>0$[/tex] per ottenere:
[tex]$\mathcal{I}[a]=\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n|^2$[/tex] e [tex]$\lVert a\rVert_2^2=2\sum_{n=1}^{+\infty} |a_n|^2$[/tex]
e perciò [tex]$\mathcal{R}[a]=\tfrac{1}{2}$[/tex].
Ok grazie gugo...Sì alla fine non era nemmeno così difficile, solo che nel casino di ieri alle 3 non riuscio di certo più a farmi venire in mente qualcosa per questo risultato "indiretto" del mio problema che mi pareva curioso comunque
Per il discorso dell'1/2 oggi dopo quello che mi hai detto ieri alle 3 mi è venuto in mente proprio di seguire una strada simile a quella che hai fatto tu, anche se probabilmente ci avrei messo un po' per fare una cosa così pulita!
Fortunatamente ieri non ho buttato paginate nel cesso, iuppi!!
Grazie ancora, bai bai!
Per il discorso dell'1/2 oggi dopo quello che mi hai detto ieri alle 3 mi è venuto in mente proprio di seguire una strada simile a quella che hai fatto tu, anche se probabilmente ci avrei messo un po' per fare una cosa così pulita!
Fortunatamente ieri non ho buttato paginate nel cesso, iuppi!!
Grazie ancora, bai bai!
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