Estremo superiore in Q

[arisakazxz94]

Salve a tutti non riesco a capire da questo esempio che mi propone il libro come mai l'insieme A in Q non ha estremo superiore


L'esempio è il seguente:

Sia A= { q € Q: q > 0, $ q^2 $ < 2}

Prima di tutto prova che A è limitato superiormente quindi dimostra che vi è un maggiorante (in questo caso 2),
Ora q € A. Se $ q <= 1 $ è ovvio. Se $ q > 1 $ invece si ha $ q < q^2 < 2 $ e quindi per transitività $ q < 2 $
per provare che esso (A) non ha estremo superiore suppone per assurdo che esso ci sia, quindi che $ xi $ = sup A € Q, ora per un teorema precedente io so che $ x^2 $ = 2 non ha soluzioni in Q per tanto la nostra $ xi^2 != 2 $. Quindi supponiamo che essa è minore di 2 quindi $ xi^2 < 2 $.

Adesso prosegue dicendo che è possibile scegliere n € N tale che $ (xi + (1)/(n))^2 < 2 $ poi segue a svolgerla e ne esce:
$ (xi + (1)/(n))^2 = xi^2+(2xi)/(n)+(1)/(n^2)<=xi^2+(2xi)/(n)+(1)/(n)< 2 $

e conclude dicendo:

se $ n> (2xi+1)/(2-xi^2) $ arriviamo ad una contradizzione perché il numero $ xi + (1)/(n) $ è maggiore dell'estremo superiore e allo stesso tempo appartiene all'insieme A.

vi spiego cosa non mi è chiaro non capisco come nella catena di disuguaglianza
$ (xi + (1)/(n))^2 = xi^2+(2xi)/(n)+(1)/(n^2)<=xi^2+(2xi)/(n)+(1)/(n)< 2 $

in questa parte togliamo il quadrato al numero naturale che vi è al denominatore qui:
$ xi^2+(2xi)/(n)+(1)/(n^2) $


e diventa:


$ xi^2+(2xi)/(n)+(1)/(n) $

Sara perché appunto $ n^2 $ non lo accettiamo in Q e quindi lo sostituiamo o (come molto probabilmente è) non mi è chiaro qualche passaggio algebrico?

[otta96]

$n<=n^2=>1/n^2<=1/n$.

[arisakazxz94]

"otta96":$n<=n^2=>1/n^2<=1/n$.

ho capito quello che mi hai scritto ma perché lo poniamo nella definizione? insomma perché dobbiamo ricondurci a quella catena di disuguaglianze? e non mettiamo direttamente:
$ (xi + (1)/(n))^2 = xi^2+(2xi)/(n)+(1)/(n^2)< 2 $

[otta96]

"afk99":perché dobbiamo ricondurci a quella catena di disuguaglianze? e non mettiamo direttamente:
$ (xi + (1)/(n))^2 = xi^2+(2xi)/(n)+(1)/(n^2)< 2 $

Perché ancora non sai che è minore di $2$, la disuguaglianza intermedia semplicemente serve a semplificare l'espressione per poter capire come bisogna prendere $n$ affinché valga $\xi^2+(2\xi)/n+1/n<2$, che è equivalente a $(2\xi+1)/n<2-\xi^2$, che è a sua volta equivalente a $n/(2\xi+1)>1/(2-\xi^2)$ e quindi prendiamo $n>(2\xi+1)/(2-\xi^2)$.