Estremo superiore f(x,y)
ho $f(x,y)= { ( ((ylog(1+xy))/x )if x!=0),(( 0 ) if x=0):} $
devo studiarne gli estremanti in $E={-1/2<=xy<=1/2}$
la funzione è continua in $R^2$ ed è positiva, si annulla sugli assi e quindi posso dire che i punti sugli assi sono minimi per la funzione.
Quando restringo la funzione al bordo ottengo $g(x)=f(x,1/(2x))=1/(2x^2) log(3/2)$ e $lim_(x->oo) g(x)=0$ e $lim_(x->0) g(x)=+oo$ e quindi f è illimitata superiormente?
devo studiarne gli estremanti in $E={-1/2<=xy<=1/2}$
la funzione è continua in $R^2$ ed è positiva, si annulla sugli assi e quindi posso dire che i punti sugli assi sono minimi per la funzione.
Quando restringo la funzione al bordo ottengo $g(x)=f(x,1/(2x))=1/(2x^2) log(3/2)$ e $lim_(x->oo) g(x)=0$ e $lim_(x->0) g(x)=+oo$ e quindi f è illimitata superiormente?
Risposte
"gbspeedy":
la funzione è continua in $R^2$
\[f(x,1) = (\log{(1 + x)}/x) \not\to 0\]
"gbspeedy":
... è positiva, si annulla sugli assi e quindi posso dire che i punti sugli assi sono minimi per la funzione.
Ci sta, ma non dovresti verificare che la funzione non abbia altri punti stazionari? Comunque mi pare non ce ne siano - studiando il gradiente.
ok.studiando il gradiente non trovo altri punti.
se invece ho f(x,y)= $ { ( x^2+log(x^2+y^2)if (x,y)!=(0,0) ),( 0 if (x,y)=(0,0) ):} $
con $E={(x,y): x^2+y^2<=4}$
E è compatto però f non è continua e quindi non posso applicare il teorema di Weierstrass.
Studiando il gradiente non ho trovato punti stazionari interni.
se studio la frontiera ottengo minimi in $(0,+-2)$ e massimi in $(+-2,0)$ ma posso dire che sono assoluti?
se invece ho f(x,y)= $ { ( x^2+log(x^2+y^2)if (x,y)!=(0,0) ),( 0 if (x,y)=(0,0) ):} $
con $E={(x,y): x^2+y^2<=4}$
E è compatto però f non è continua e quindi non posso applicare il teorema di Weierstrass.
Studiando il gradiente non ho trovato punti stazionari interni.
se studio la frontiera ottengo minimi in $(0,+-2)$ e massimi in $(+-2,0)$ ma posso dire che sono assoluti?
"gbspeedy":
ok.studiando il gradiente non trovo altri punti.
se invece ho f(x,y)= $ { ( x^2+log(x^2+y^2)if (x,y)!=(0,0) ),( 0 if (x,y)=(0,0) ):} $
con $E={(x,y): x^2+y^2<=4}$
E è compatto però f non è continua e quindi non posso applicare il teorema di Weierstrass.
Studiando il gradiente non ho trovato punti stazionari interni.
se studio la frontiera ottengo minimi in $(0,+-2)$ e massimi in $(+-2,0)$ ma posso dire che sono assoluti?
Mmm, onestamente non saprei perche' da quando ho cominciato a studiare queste cose mi sono sempre occupato di funzioni continue. Comunque nemmeno io ho trovato punti stazionari nel cerchio di raggio 2; di sicuro pero' massimi e minimi assoluti della funzione sono in \(\mathbb{R}\). Avvicinandoti all'origine mi pare tu abbia una singolarita' bella pesante che ti porta subito a \(-\infty\) - se e' cosi davvero e' quello il minimo assoluto della funzione chiaramente.
Comunque prendi con le pinze tutto quello che ho scritto, eh.
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