Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme parametrizzato
Buongiorno, avrei bisogno di una mano con questo esercizio.
Si consideri l’insieme $ A_alpha sub \mathbb{R} $ dipendente dal parametro reale positivo $ α > 0 $
definito da:
$ A_alpha ={n^(alpha^2 +4)(1-cos(1/n^(2alpha )))(e^(1/n^2)-1), nin \mathbb{N} \\ {0}} $
Per quali $ α $ si ha sup $ A_α < +∞ $?
Per quali $ α $ si ha inf $ A_ α >0 $?
Non saprei dove partire, dato che $alpha$ è definito positivo quindi non potrei far alcuna osservazione sul segno.
Ho provato a farne il limite $ lim_(n -> +∞) A_alpha $ e ho trovato che $(1-cos(1/n^(2alpha ))) ~ 1/(2n^(2alpha)) $ e che $(e^(1/n^2)-1) ~ 1/n^2$
Ma da qui in poi non saprei che altro fare... Sapreste darmi qualche indicazione?
Si consideri l’insieme $ A_alpha sub \mathbb{R} $ dipendente dal parametro reale positivo $ α > 0 $
definito da:
$ A_alpha ={n^(alpha^2 +4)(1-cos(1/n^(2alpha )))(e^(1/n^2)-1), nin \mathbb{N} \\ {0}} $
Per quali $ α $ si ha sup $ A_α < +∞ $?
Per quali $ α $ si ha inf $ A_ α >0 $?
Non saprei dove partire, dato che $alpha$ è definito positivo quindi non potrei far alcuna osservazione sul segno.
Ho provato a farne il limite $ lim_(n -> +∞) A_alpha $ e ho trovato che $(1-cos(1/n^(2alpha ))) ~ 1/(2n^(2alpha)) $ e che $(e^(1/n^2)-1) ~ 1/n^2$
Ma da qui in poi non saprei che altro fare... Sapreste darmi qualche indicazione?
Risposte
Avrai notato che $n^(alpha^2 +4)(1-cos(1/n^(2alpha )))(e^(1/n^2)-1)$ è sempre una quantità positiva (e ovviamente finita), quindi è una buona idea vedere cosa succede al limite.
Sfruttando le stime asintotiche che hai già fatto si ha che $n^(alpha^2 +4)(1-cos(1/n^(2alpha )))(e^(1/n^2)-1)~n^(alpha^2 +4)1/(2n^(2alpha))1/(n^2)=n^(alpha^2+4-2alpha-2)/2=n^(alpha^2-2alpha+2)/2$.
Sai continuare da qui?
Sfruttando le stime asintotiche che hai già fatto si ha che $n^(alpha^2 +4)(1-cos(1/n^(2alpha )))(e^(1/n^2)-1)~n^(alpha^2 +4)1/(2n^(2alpha))1/(n^2)=n^(alpha^2+4-2alpha-2)/2=n^(alpha^2-2alpha+2)/2$.
Sai continuare da qui?
In realtà sono arrivato già al risultato che hai messo tu, cosa dovrei osservare?
Devi calcolarti il limite in dipendenza da $alpha$.
Nota anche che $alpha^2-2alpha+2=(alpha-1)^2+1$.
Nota anche che $alpha^2-2alpha+2=(alpha-1)^2+1$.
Al variare di $alpha$:
Se il limite fa $l$ reale, allora sup $< oo$ e inf$>0$
Se il limite fa $oo$, allora sup$=oo$ e inf$>0$
Se il limite fa $0$, allora sup$
Comunque mi pare che hai sbagliato la stima del coseno, in un intorno di $0$ vale $1-cosx \approx x^2/2$
Se il limite fa $l$ reale, allora sup $< oo$ e inf$>0$
Se il limite fa $oo$, allora sup$=oo$ e inf$>0$
Se il limite fa $0$, allora sup$
Comunque mi pare che hai sbagliato la stima del coseno, in un intorno di $0$ vale $1-cosx \approx x^2/2$
Perfetto, ecco dove stava l'inghippo, mi ero dimenticato il quadrato in quella stima asintotica.
Ora dovrei avere:
$ lim_(n -> +oo) n^(alpha^2-4alpha+2)/2 $
Cioè
$ lim_(n -> +oo) n^([alpha-(2+sqrt(2))][alpha-(2-sqrt(2))]]/2 $
A questo punto posso discutere il valore del limite dipendente dal parametro $alpha$.
Distinguendo questi casi
$ 0 < alpha <= 2-sqrt(2) vv alpha >= 2+ sqrt(2) $
L'estremo inferiore è maggiore di $0$, poiché il limite tende a $ +oo $
Se $ 2-sqrt(2) <= alpha <= 2 + sqrt(2) $ abbiamo che l'estremo superiore è minore di $ +oo $ dato che il limite tende a $ 0 $
Nel caso in cui coincidano in $2-sqrt(2) vv 2+sqrt(2)$ vengono soddisfatte entrambe le richieste in quanto il limite tende a $ 1 $
Penso sia così, giusto?
Ora dovrei avere:
$ lim_(n -> +oo) n^(alpha^2-4alpha+2)/2 $
Cioè
$ lim_(n -> +oo) n^([alpha-(2+sqrt(2))][alpha-(2-sqrt(2))]]/2 $
A questo punto posso discutere il valore del limite dipendente dal parametro $alpha$.
Distinguendo questi casi
$ 0 < alpha <= 2-sqrt(2) vv alpha >= 2+ sqrt(2) $
L'estremo inferiore è maggiore di $0$, poiché il limite tende a $ +oo $
Se $ 2-sqrt(2) <= alpha <= 2 + sqrt(2) $ abbiamo che l'estremo superiore è minore di $ +oo $ dato che il limite tende a $ 0 $
Nel caso in cui coincidano in $2-sqrt(2) vv 2+sqrt(2)$ vengono soddisfatte entrambe le richieste in quanto il limite tende a $ 1 $
Penso sia così, giusto?
"Frostman":
$ 0 < alpha <= 2-sqrt(2) vv alpha >= 2+ sqrt(2) $
L'estremo inferiore è maggiore di $0$, poiché il limite tende a $ +oo $
Vero, a meno che non ci sia proprio l'"$=$", allora il limite non fa $+\infty$ ma l'inf è comunque positivo.
Se $ 2-sqrt(2) <= alpha <= 2 + sqrt(2) $ abbiamo che l'estremo superiore è minore di $ +oo $ dato che il limite tende a $ 0 $
Stesso discorso di prima al contrario.
Nel caso in cui coincidano in $2-sqrt(2) vv 2+sqrt(2)$ vengono soddisfatte entrambe le richieste in quanto il limite tende a $ 1 $
In realtà i limite è $1/2$ (attenzione non si dice il limite tende, quanto piuttosto la successione tende o il limite è).
Penso sia così, giusto?
Praticamente sì.
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