Estremo superiore ed estremo inferiore
Ciao a tutti,
ho un dubbio grande che non riesco a spiegarmi riguardo all'inf ed al sup di una funzione in generale.
Studiavo questa funzione:
$f(x)=\frac{x^{2}}{\ln | x |-1}$
per determinare l'inf ed il sup di questa funzione ho determinato il codominio della funzione: $cod f(x)= f(dom f)$, cioè il codominio è l'insieme delle immagini di f(x),
perciò concretamente ho proceduto in questo modo:
sapendo che $dom f(x)=(-\infty ,-e) U (-e,0) U (0,e) U (e,+\infty )$,
ho determinato il codominio:
* $f(-\infty )=+\infty$ ;
* $f(-e^{-} )=+\infty$ ;
* $f(-e^{+} )=-\infty$ ;
* $f(0^{-} )=0$ ;
* $f(0^{+} )=0$ ;
* $f(e^{-} )=-\infty$ ;
* $f(e^{+} )=+\infty$ ;
* $f(+\infty )=+\infty$ .
(Che praticamente si traduce nel calcolo dei limiti). Ora da questo calcolo ho determinato: $cod f(x)=(-\infty ,+\infty )$. Deducendo che f(x) è illimitata sia inferiormente, che superiormente.
La mia domanda è: perchè sul libro dice che: $im f(x)=(-\infty,0)U [2e^{3},+\infty )$?!
E' giusto come scrive il libro, ma questo risultato lo si ricava solo dopo aver determinato gli eventuali punti critici ed è palese dal grafico. Un'altra domanda: se il codominio è l'insieme delle immagini di tutti i valori del dominio, perchè non riesco a calcolarlo subito dopo aver determinato il dominio? Quindi a quale passo dello studio della funzione posso calcolare l'inf ed il sup? (Mi rispondo da sola sperando di non sbagliare: dopo l'individuazione dei punti critici in modo tale da ottenere eventuali ordinate strane. Allora non è vero che il dominio è funzione dei valori di frontiera del dominio?!).
Questi miei dubbi sono venuti a galla quando studiando un'altra funzione (che non ricordo) essa era definita su tutto R ed il suo grafico era a forma di campana simmetrica rispetto all'asse y, con asintoto orizzontale completo x=0...di fatti ricavai che:
* $f(-\infty )=0$ ;
* $f(+\infty )=0$ .
Cioè praticamente il codominio non esisteva perchè era solo un punto: $cod f(x)=\{ 0 }$...ma ciò non era giusto perchè vi era un punto A di massimo relativo, difatti $cod f(x)=[ A ,0)$.
AIUTO
ho un dubbio grande che non riesco a spiegarmi riguardo all'inf ed al sup di una funzione in generale.
Studiavo questa funzione:
$f(x)=\frac{x^{2}}{\ln | x |-1}$
per determinare l'inf ed il sup di questa funzione ho determinato il codominio della funzione: $cod f(x)= f(dom f)$, cioè il codominio è l'insieme delle immagini di f(x),
perciò concretamente ho proceduto in questo modo:
sapendo che $dom f(x)=(-\infty ,-e) U (-e,0) U (0,e) U (e,+\infty )$,
ho determinato il codominio:
* $f(-\infty )=+\infty$ ;
* $f(-e^{-} )=+\infty$ ;
* $f(-e^{+} )=-\infty$ ;
* $f(0^{-} )=0$ ;
* $f(0^{+} )=0$ ;
* $f(e^{-} )=-\infty$ ;
* $f(e^{+} )=+\infty$ ;
* $f(+\infty )=+\infty$ .
(Che praticamente si traduce nel calcolo dei limiti). Ora da questo calcolo ho determinato: $cod f(x)=(-\infty ,+\infty )$. Deducendo che f(x) è illimitata sia inferiormente, che superiormente.
La mia domanda è: perchè sul libro dice che: $im f(x)=(-\infty,0)U [2e^{3},+\infty )$?!
E' giusto come scrive il libro, ma questo risultato lo si ricava solo dopo aver determinato gli eventuali punti critici ed è palese dal grafico. Un'altra domanda: se il codominio è l'insieme delle immagini di tutti i valori del dominio, perchè non riesco a calcolarlo subito dopo aver determinato il dominio? Quindi a quale passo dello studio della funzione posso calcolare l'inf ed il sup? (Mi rispondo da sola sperando di non sbagliare: dopo l'individuazione dei punti critici in modo tale da ottenere eventuali ordinate strane. Allora non è vero che il dominio è funzione dei valori di frontiera del dominio?!).
Questi miei dubbi sono venuti a galla quando studiando un'altra funzione (che non ricordo) essa era definita su tutto R ed il suo grafico era a forma di campana simmetrica rispetto all'asse y, con asintoto orizzontale completo x=0...di fatti ricavai che:
* $f(-\infty )=0$ ;
* $f(+\infty )=0$ .
Cioè praticamente il codominio non esisteva perchè era solo un punto: $cod f(x)=\{ 0 }$...ma ciò non era giusto perchè vi era un punto A di massimo relativo, difatti $cod f(x)=[ A ,0)$.
AIUTO
Risposte
Ma è la stessa funzione che hai postato l'altra volta! Da quanto tempo la stai studiando? 
CHE MEMORIA!! Si 
ma ho finito di studiarla tempo fa, ma riguardandola e facendo altri esercizi ho pensato di chiedere conferma e sciogliere per sempre i miei dubbi
ma ho finito di studiarla tempo fa, ma riguardandola e facendo altri esercizi ho pensato di chiedere conferma e sciogliere per sempre i miei dubbi
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