ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE
$ E= sqrt(1+(1/n)-(2/n^2))$ per n=1,2...
0= infE ma non è minimo (penso,dato che n fa parte dei naturali escluso lo 0)
e l'estremo superiore??
0= infE ma non è minimo (penso,dato che n fa parte dei naturali escluso lo 0)
e l'estremo superiore??
Risposte
$\sqrt{1+(\frac{1}{n})-(\frac{2}{n^2})}$ è sempre non negativo, in quanto è una radice quadrata. Per $n=1$ questa espressione vale $0$, dunque, dato che $0 \in E$, $0$ è il minimo.
e l'estremo superiore di E?
Direi $1$ e si raggiunge per $n=2$.
L'estremo superiore e massimo si ha per n = 4 .
"Camillo":
L'estremo superiore e massimo si ha per n = 4 .
Considerando che $1/x-2/(x^2)=(x-2)/(x^2)$ e dimostrando che $x-2<(x^2)/8$ per ogni $x>4$ con qualche calcolo segue la tesi.
cioè tenendo conto che l'esame si fa senza calcolatrice è un suicidio calcolare ste cose...
È vero, ho sbagliato.
"marktrix":
cioè tenendo conto che l'esame si fa senza calcolatrice è un suicidio calcolare ste cose...
Io sono per i problemi che, se trovata la strada giusta, si risolvono con somme tra numeri di due cifre, altrimenti con l'aiuto di un supercalcolatore della Nasa.
a quindi secondo il tuo ragionamento si avrebbe per $n=oo$ il massimo? spiegami bene...
"marktrix":
a quindi secondo il tuo ragionamento si avrebbe per $n=oo$ il massimo? spiegami bene...
No, se sai che $x-2
..che per n=4 si ha il massimo...
"marktrix":
..che per n=4 si ha il massimo...
Si, ma è un brutto caso particolare non potrai cavartela sempre così. Per cui, propongo, fissato $k$ trovare
limite superiore $1/n-2/(n^2)+3/(n^3)-4/(n^4)+...(-1)^(k+1) k/(n^k)$
sinceramente non riesco a capirci molto..sono conti che noi studenti dobbiamo farci a mente..
anche perchè cambiando la sequenza di E e mettendo: E= $sqrt(1-(1/n)+(2/n^2))$ per n=1,2
si trova faclmente supE=massimo=1 ma si ha lo stesso problema di prima pr trovare l'inf...calcoli difficili
anche perchè cambiando la sequenza di E e mettendo: E= $sqrt(1-(1/n)+(2/n^2))$ per n=1,2
si trova faclmente supE=massimo=1 ma si ha lo stesso problema di prima pr trovare l'inf...calcoli difficili
"carlo23":
[quote="marktrix"]..che per n=4 si ha il massimo...
Si, ma è un brutto caso particolare non potrai cavartela sempre così. Per cui, propongo, fissato $k$ trovare
limite superiore $1/n-2/(n^2)+3/(n^3)-4/(n^4)+...(-1)^(k+1) k/(n^k)$[/quote]
mi puoi rispiegare questo tenendo conto anche del reply che ho messo prima?
"marktrix":
[quote="carlo23"][quote="marktrix"]..che per n=4 si ha il massimo...
Si, ma è un brutto caso particolare non potrai cavartela sempre così. Per cui, propongo, fissato $k$ trovare
limite superiore $1/n-2/(n^2)+3/(n^3)-4/(n^4)+...(-1)^(k+1) k/(n^k)$[/quote]
mi puoi rispiegare questo tenendo conto anche del reply che ho messo prima?[/quote]
Intendi come calcolare
limite superiore $1/n-2/(n^2)+3/(n^3)-4/(n^4)+...(-1)^(k+1) k/(n^k)$
per $k$ fissato, vuoi sapere il procedimento?
si...
cioè partendo dall'esempio cheho messo io $ E= sqrt(1+(1/n)-(2/n^2))$ per n=1,2...
e $ E= sqrt(1-(1/n)+(2/n^2))$ per n=1,2...
come faresti a trovare sup e inf?
e cosa ti verrebbero?appurato che il risultato del primo ne abbiamo discusso anche se calcolato in modo difficile da fare a mente
cioè partendo dall'esempio cheho messo io $ E= sqrt(1+(1/n)-(2/n^2))$ per n=1,2...
e $ E= sqrt(1-(1/n)+(2/n^2))$ per n=1,2...
come faresti a trovare sup e inf?
e cosa ti verrebbero?appurato che il risultato del primo ne abbiamo discusso anche se calcolato in modo difficile da fare a mente
"marktrix":
si...
cioè partendo dall'esempio cheho messo io $ E= sqrt(1+(1/n)-(2/n^2))$ per n=1,2...
e $ E= sqrt(1-(1/n)+(2/n^2))$ per n=1,2...
come faresti a trovare sup e inf?
e cosa ti verrebbero?appurato che il risultato del primo ne abbiamo discusso anche se calcolato in modo difficile da fare a mente
nessun aiuto per una risoluzione rapida e senza calcolatrice?
"carlo23":
Intendi come calcolare
limite superiore $1/n-2/(n^2)+3/(n^3)-4/(n^4)+...(-1)^(k+1) k/(n^k)$
per $k$ fissato, vuoi sapere il procedimento?
Sappiamo che se $|x| ne 1$ allora
$1+x+x^2+...+x^k=(x^(k+1)-1)/(x-1)$
derivando
$1+2x+3x^2+...+kx^(k-1)=(kx^(k+1)-(k+1)x^k+1)/((x-1)^2)$
mutando $x rightarrow -x$
$1-2x+3x^2+...+(-1)^(k-1) kx^(k-1)=(kx^(k+1)-(k+1)x^k+1)/((x-1)^2)$
moltiplicando per $x$
$x-2x^2+3x^3+...+(-1)^(k-1) kx^(k-1)=x(kx^(k+1)-(k+1)x^k+1)/((x-1)^2)$
per cui
limite superiore $1/n-2/(n^2)+3/(n^3)-4/(n^4)+...(-1)^(k+1) k/(n^k)$
corrisponde a
limite superiore $(1/n)(k(1/n)^(k+1)-(k+1)(1/n)^k+1)/(((1/n)-1)^2)$
ora potresti provare a continuare te...
e in termini di esempio se dovessi applicare tutta quella cosa a $ E= sqrt(1-(1/n)+(2/n^2))$ da dove dovrei iniziare?
"marktrix":
:shock:
e in termini di esempio se dovessi applicare tutta quella cosa a $ E= sqrt(1-(1/n)+(2/n^2))$ da dove dovrei iniziare?
Ma no, il caso che ti stavo mostrando è decisamente più generale del tuo, nel tuo caso particolare ti basta considerare che
detta $y=1-1/x+2/x^2$ hai $y'=1/x^2-4/x^3=(1-4/x)/x^2$ quindi se $x>4$ trovi $y'<1/x^2$ ovvero la derivata di $y'$ è definitivamente decrescente così come lo sarà la funzione $y$ e il suo massimo si dovrà avere per $x<=4$ e essendo $x in NN$ i conti non son troppi
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