Estremo superiore della mantissa

[zio_mangrovia]

data la mantissa per la rappresentazione dei numeri macchina:
$\sum_{n=1}^\infty\alpha_i \beta^(-i)$
dove $\beta>1$ e $0<=\alpha_i<=\beta-1$
non capisco parte del procedimento per trovare l'estremo superiore della mantissa cioè $1$

Si ipotizza $\alpha_i = \beta-1$ , $i=1,2,3,...$

per cui $\sum_{n=1}^\infty\alpha_i \beta^(-i) = \sum_{n=1}^\infty(\beta-1) \beta^(-i) = (\beta-1)\sum_{n=1}^\infty \beta^(-i)$
fin qua tutto ok

sapendo che al secondo membro la serie $\sum_{n=1}^\infty \beta^(-i)$ tende a $1/(1-q)$ dove $q=1/\beta$ cioè la ragione della serie geometrica
otterrei: $ (\beta-1)frac{1}{(1-1/\beta)} $

mentre sul testo dove sto studiando riporta anche il primo termine della serie cioè $1/\beta$

$ (\beta-1)(1/\beta)frac{1}{(1-1/\beta)} $

sapete spiegarmi perchè c'e' questo primo elemento nel calcolo dell'estremo superiore?

[@melia]

Questa la so anch'io!
La sommatoria parte da $i=1$, mentre la somma della serie geometrica chiede che la sommatoria parta da $i=0$.

$ \sum_{i=0}^\infty \beta^(-i) = frac{1}{(1-1/\beta)} $

quindi $ \sum_{i=1}^\infty \beta^(-i) = frac{1}{(1-1/\beta)} -1$ che, a conti fatti diventa $ (1/\beta)frac{1}{(1-1/\beta)} $

[zio_mangrovia]

"@melia":

quindi $ \sum_{i=1}^\infty \beta^(-i) = frac{1}{(1-1/\beta)} -1$

Quindi $-1$ rappresenta il primo termine della serie geometrica, ho capito. Non ci sarei mai arrivato.