Estremo superiore?
Come dimostro che $+∞$ è l'estremo superiore di questo insieme $A={x∈R:x=n^(2)-n ∀n∈N}$ ?
Risposte
Affermare che $+infty$ è l'estremo superiore equivale a dire che non esiste un numero reale maggiore di tutti gli altri elementi dell'insieme cioè, in questo caso, che non esiste un numero $M$ tale che $M>=n^2-n$ con $n in NN$.
Puoi provarlo per assurdo, assumendo che questo numero esista e risolvendo la disequazione precedente, osservando che esistono numeri naturali che la rendono falsa (i valori esterni alle soluzioni, quantomeno a destra ...)
Cordialmente, Alex
Puoi provarlo per assurdo, assumendo che questo numero esista e risolvendo la disequazione precedente, osservando che esistono numeri naturali che la rendono falsa (i valori esterni alle soluzioni, quantomeno a destra ...)
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Affermare che $+infty$ è l'estremo superiore equivale a dire che non esiste un numero reale maggiore di tutti gli altri elementi dell'insieme cioè, in questo caso, che non esiste un numero $M$ tale che $M>=n^2-n$ con $n in NN$.
Puoi provarlo per assurdo, assumendo che questo numero esista e risolvendo la disequazione precedente, osservando che esistono numeri naturali che la rendono falsa (i valori esterni alle soluzioni, quantomeno a destra ...)
Cordialmente, Alex
Io l'avevo dimostrato in questo modo:
Dimostro che $+∞$ è maggiorante: $+∞>=n^(2)-n$ dopo aver svolto la disequazione di secondo grado ottengo, $-∞<=n<=+∞$ escludo i negativi perchè n è naturale. Quindi $1<=n<=+∞$ soddisfatta per $∀n∈N$
Poi dimostro che $+∞$ è il più grande dei maggioranti: quindi esiste $n>+∞-ε$ ? Si, esiste per il principio di Archimede.
Quindi $+∞$ è estremo superiore.
è giusta questa dimostrazione?
Per quel che ne so, stai utilizzando $+infty$ come se fosse un numero ma non lo è ... per esempio non mi pare abbia molto senso l'ultima disequazione che hai scritto ... penso che sia più semplice come ho fatto ...
"axpgn":
Per quel che ne so, stai utilizzando $+infty$ come se fosse un numero ma non lo è ... per esempio non mi pare abbia molto senso l'ultima disequazione che hai scritto ... penso che sia più semplice come ho fatto ...
L'ultima disequazione a me sembra ovvia... Ossia sicuramente esiste un numero naturale che è più grande di infinito meno qualcosa...
Se l'ultima disequazione ti sembra ovvia stiamo messi bene ... 
Dai, trovami un numero maggiore di $+infty-23$ ...
Dai, trovami un numero maggiore di $+infty-23$ ...
"axpgn":
Se l'ultima disequazione ti sembra ovvia stiamo messi bene ...
Dai, trovami un numero maggiore di $+infty-23$ ...
Col tuo procedimento mi trovo $n>=1+√(1+4M)$, come dimostro che è falsa?
"Fab996":
[quote="axpgn"]Se l'ultima disequazione ti sembra ovvia stiamo messi bene ...
Dai, trovami un numero maggiore di $+infty-23$ ...
Col tuo procedimento mi trovo $n>=1+√(1+4M)$, come dimostro che è falsa?[/quote]
Comunque la seconda diseguaglianza mi sembrava ovvia perché vuol dire: esiste un numero tale che esso sia più grande di qualcosa infinitivamente grande meno qualcosa ? La risposta è si, perche n è limitato in R, quindi posso sempre definire un numero successivo tale che è più grande del numero precedente...
"Fab996":
... Col tuo procedimento mi trovo $n>=1+√(1+4M)$, come dimostro che è falsa?
Quella NON è la soluzione della disequazione ... data la disequazione $0>n^2-n-M$ l'insieme delle soluzioni è composto da tutti i valori INTERNI all'intervallo di estremi $(1-sqrt(1+4M))/2
"Fab996":
... Comunque la seconda diseguaglianza mi sembrava ovvia perché vuol dire: esiste un numero tale che esso sia più grande di qualcosa infinitivamente grande meno qualcosa ? La risposta è si, perche n è limitato in R, quindi posso sempre definire un numero successivo tale che è più grande del numero precedente...
Sinceramente non ho capito cosa volessi dire ma si dimostra facilmente che questa $n>+infty-epsilon$ è falsa:
ipotizziamo pure che esista questo $n$, allora sarà $n+epsilon>+infty$ ma questo significa letteralmente che esiste un numero (naturale o reale, fai tu ...) che è maggiore dell'infinito, il che è assurdo ... non ti pare?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
[quote="Fab996"]... Col tuo procedimento mi trovo $n>=1+√(1+4M)$, come dimostro che è falsa?
Quella NON è la soluzione della disequazione ... data la disequazione $0>n^2-n-M$ l'insieme delle soluzioni è composto da tutti i valori INTERNI all'intervallo di estremi $(1-sqrt(1+4M))/2
"Fab996":
... Comunque la seconda diseguaglianza mi sembrava ovvia perché vuol dire: esiste un numero tale che esso sia più grande di qualcosa infinitivamente grande meno qualcosa ? La risposta è si, perche n è limitato in R, quindi posso sempre definire un numero successivo tale che è più grande del numero precedente...
Sinceramente non ho capito cosa volessi dire ma si dimostra facilmente che questa $n>+infty-epsilon$ è falsa:
ipotizziamo pure che esista questo $n$, allora sarà $n+epsilon>+infty$ ma questo significa letteralmente che esiste un numero (naturale o reale, fai tu ...) che è maggiore dell'infinito, il che è assurdo ... non ti pare?
Cordialmente, Alex[/quote]
Alex la dimostrazione che dici te: ossia non esiste $M:M>n^(2)-n, n∈N$ equivale a dire: $∀M>0 ∃n∈N: n^(2)-n>M$ ?
Sì.
"axpgn":
Sì.
Grazie mille
Se il mio professore di Analisi ti vede utilizzare l' $oo$ come numero non solo ti boccia ma ti boccerà a vita! 
È GIUSTISSIMO come dice axpgn!
Ciao!
È GIUSTISSIMO come dice axpgn!
Ciao!
"axpgn":
Sì.
Un'ultima cosa, dopo aver risolto $M
La mia domanda è come mai esistono quei particolari valori di n che soddisfano la disequazione?
Ti stai riferendo alla stessa disequazione di prima? Perché questa ha il segno invertito e non capisco a cosa ti serva ...
"axpgn":
Ti stai riferendo alla stessa disequazione di prima? Perché questa ha il segno invertito e non capisco a cosa ti serva ...
Si scusa, intendevo la disequazione che avevo scritto precedentemente io ossia $n^(2)-n>M$
Sto andando in confusione ... 
Comunque, andando alla sostanza ... il fatto che questa disequazione (l'ultima che hai scritto) sia sempre soddisfatta (cioè per qualunque valore di $M$ trovi sempre dei valori di $n$ che la rendono valida) significa appunto che quell'insieme non é limitato superiormente ...
Cordialmente, Alex
Comunque, andando alla sostanza ... il fatto che questa disequazione (l'ultima che hai scritto) sia sempre soddisfatta (cioè per qualunque valore di $M$ trovi sempre dei valori di $n$ che la rendono valida) significa appunto che quell'insieme non é limitato superiormente ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Sto andando in confusione ...
Comunque, andando alla sostanza ... il fatto che questa disequazione (l'ultima che hai scritto) sia sempre soddisfatta (cioè per qualunque valore di $M$ trovi sempre dei valori di $n$ che la rendono valida) significa appunto che quell'insieme non é limitato superiormente ...
Cordialmente, Alex
Si ma chi mi dice che i valori di $n$ esistono? Dato che sotto radice c'è $M$ che non so quanto vale ...
Come chi te lo dice? Per OGNI valore di $M$ possiamo calcolarci il valore di quell'espressione e quindi ogni valore di $n$ maggiore del valore di quell'espressione è una soluzione ...
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