Estremo sup, inf, min e max

[luigis1977]

qualcuno sa aiutarmi e spiegarmi come leggere e risolvere la richiesta di questo esercizio:

http://www.memoring.it/test/es.jpg

Grazi a tutti
Luigi

[enrico___1]

L'insieme include gli estremi, quindi sostituisci ad n i valori di tre e cinque e trovi così quanto vale il sup e l'inf che in questo coso corrispondono anche al max e al min.

Aspetto ciampax per la conferma :)

Aggiunto 12 ore 1 minuti più tardi:

adry105 ha ragione :) avevo letto

[math]n\in [3,5] e x=...[/math]

L'insieme è definito così

[math]N=[1,+\infty)[/math]

. Con n=1 hai

[math]x\not =5[/math]

e con n=

[math]+\infty[/math]

hai

[math]x\not = 3[/math]

. Quindi l'insieme non ammette max e min.
Per vedere se ammette sup utilizzi la definizione di sup:

[math]
\forall \epsilon >0 : \exists x_{\epsilon} \in E : x_{\epsilon}>5-\epsilon
[/math]

E per l'inf

[math]
\forall \epsilon >0 : \exists x_{\epsilon} \in E : x_{\epsilon}

[luigis1977]

Grazie Enrico sei stato gentilissimo ma chi è Ciampax? :lol il Gauss del forum. comunque ok! spero mi dia conferma di quanto mi hai detto. Grazie Ancora

[adry105]

In teoria c'è messo x diverso da (3n+2)/n quindi se n=1, x diverso da 5, e se n tende a +infinito x deve essere diverso da 3.. Quindi gli estremi dell'intervallo non sono inclusi.. Per cui il minimo e il massimo dell'insieme non esistono, ma esiste l'estremo inferiore che è 3 e l'estremo superiore che è 5.. Almeno penso :)

Ps Enrico quello è un insieme, non è una funzione, quindi non hai niente da sostituire e trovare i valori :)

Aggiunto 1 ore 14 minuti più tardi:

Si, hai ragione :DDD

[ciampax]

Allora, per prima cosa, per definizione stessa, si sa che

[math]E\subset [3,5][/math]

e sicuramente non coincide con l'intervallo in quanto vanno eliminati tutti gli elementi della forma prescritta. Ora possiamo scrivere

[math]\frac{3n+2}{n}=\frac{3n}{n}+\frac{2}{n}=3+\frac{2}{n}[/math]

Quello che dobbiamo verificare, allora, è semplicemente se gli estremi dell'intervallo [3,5] sono in E o meno, e cioè se esistono dei valori di n per cui

[math]3+\frac{2}{n}=3,\qquad 3+\frac{2}{n}=5[/math]

Tali equazioni si riducono a

[math]\frac{2}{n}=0,\qquad \frac{2}{n}=2[/math]

la prima non ha soluzioni, mentre per la seconda si ha

[math]n=1[/math]

. Ne segue che

[math]E\subset [3,5)[/math]

e quindi si ricava che

[math]\inf E=\min E=3,\qquad \sup E=5[/math]

e non esiste massimo.

@adry: attendo: un limite non è un valore "calcolabile". E' vero che per n che va ad infinito ottieni il valore 3 (come limite) ma tale valore (come dimostra l'equazione che ho scritto sopra) non viene mai "realizzato" da nessun n.