Estremo sup. (inf)
salve, sto iniziando a studiare analisi matematica e come credo giusto mi vengono i primi dubbi dalle domande che mi faccio; ci sono dei principi che non capisco appieno e che non mi permettono di proseguire sicuramente con gli studi:
1) dalla definizione l'estremo superiore (inf) di un insieme A in R viene definito come il minimo (massimo) dell'insieme dei maggioranti (minoranti); può essere solo l estremo inferiore (sup) dei maggioranti (minoranti) senza esserne il min (max)?
2) se l'insieme A precede l'insieme dei maggioranti di A (MA), si puo considerare l'insieme A come un insieme di "minoranti dei maggioranti"? oppure se prendo l'insieme dei maggioranti senza considerarlo tale, cioè un qualsiasi altro insieme che corrisponde a quello, posso considerare A quello dei minoranti?
3) come si definisce un insieme dei maggioranti (minoranti) di un insieme dato?
Aiutatemi
1) dalla definizione l'estremo superiore (inf) di un insieme A in R viene definito come il minimo (massimo) dell'insieme dei maggioranti (minoranti); può essere solo l estremo inferiore (sup) dei maggioranti (minoranti) senza esserne il min (max)?
2) se l'insieme A precede l'insieme dei maggioranti di A (MA), si puo considerare l'insieme A come un insieme di "minoranti dei maggioranti"? oppure se prendo l'insieme dei maggioranti senza considerarlo tale, cioè un qualsiasi altro insieme che corrisponde a quello, posso considerare A quello dei minoranti?
3) come si definisce un insieme dei maggioranti (minoranti) di un insieme dato?
Aiutatemi
Risposte
3)Preoccupiamoci dei maggioranti e del sup. (per l'inf il discorso si ripete pari-pari)
Prendiamo un insieme A di $RR$.
Definiamo massimo di A:
x = max(A) <==> per ogni y in A, x >= y
Dopo di che diamo la definizione di MAGGIORANTE:
un numero k e' un maggiorante di A sse:
k >= x per ogni x in A
L'insieme dei maggioranti e':
MA := { k \in $RR$ : k e' maggiorante di A }
------------------------------------------------------------------------------
Da queste definizioni segue:
2) L'insieme A non e' necessariamente l'insieme dei minoranti di MA. Infatti possono esistere minoranti di MA che non appartengono ad A.
Ad esempio:
A := [0,1]
MA := [1,+oo)
-1 NON appartiene ad A ma e' un minorante di MA
------------------------------------------------------------------------------
1) Questo e' un assioma (l'assioma di completezza):
Ogni sottoinsieme A non vuoto di $RR$ che ammetta un insieme dei maggioranti non vuoto (MA) e' t.c.: MA ammette minimo.
A me quest'ultimo l'hanno presentato come assioma (ad Ing. non e' che i prof. si preoccupino molto dei fondamenti), ma piu' probabilmente e' una proprieta' che si riesce a dimostrare per $RR$ (ma non per $QQ$!!!)
*** EDIT ***
Vd. altro post
Prendiamo un insieme A di $RR$.
Definiamo massimo di A:
x = max(A) <==> per ogni y in A, x >= y
Dopo di che diamo la definizione di MAGGIORANTE:
un numero k e' un maggiorante di A sse:
k >= x per ogni x in A
L'insieme dei maggioranti e':
MA := { k \in $RR$ : k e' maggiorante di A }
------------------------------------------------------------------------------
Da queste definizioni segue:
2) L'insieme A non e' necessariamente l'insieme dei minoranti di MA. Infatti possono esistere minoranti di MA che non appartengono ad A.
Ad esempio:
A := [0,1]
MA := [1,+oo)
-1 NON appartiene ad A ma e' un minorante di MA
------------------------------------------------------------------------------
1) Questo e' un assioma (l'assioma di completezza):
Ogni sottoinsieme A non vuoto di $RR$ che ammetta un insieme dei maggioranti non vuoto (MA) e' t.c.: MA ammette minimo.
A me quest'ultimo l'hanno presentato come assioma (ad Ing. non e' che i prof. si preoccupino molto dei fondamenti), ma piu' probabilmente e' una proprieta' che si riesce a dimostrare per $RR$ (ma non per $QQ$!!!)
*** EDIT ***
Vd. altro post
Ok, grazie, credo di aver capito!, per sicurezza faccio un altra domanda:
nel punto2) mi dici che l'insieme A dell'esempio da me riportato non e necessariamente un minorante dei maggioranti. Lo è (almeno in parte, come sottoinsieme) solo quando il sup di A coincide con il suo max?
Mi spiego meglio:
-1°: sup A = max A => max A = Inf MA = min MA Allora considerando i minoranti dei maggioranti A ottengo che il max dei m(MA) (essendo questo anche piu ampio di A) coincide con il max di A?
-2°: se il sup A non= a max A significa che il il max dei minoranti dei maggioranti A e comunque = al min dei MA ? e quindi che tra l'insieme A e i suoi maggioranti ci possono essere infiniti numeri appunto perchè non ha un max?
e il max dei minoranti dei maggioranti è comunque il sup di A?
es:
1)
A:= [0,1]
MA:=[1,+OO)
Allora il max di minoranti di MA è il max di A?
2)
A:= [0,1)
MA:=[1,+OO)
Allora il max di m(MA) non è il max di A perche questo non ha max ma sarà comunque = al min di MA = sup A non= max A ?
Ho capito bene?
*dall tuo esempio MA è aperto inferiormente! non ha min?
Grazie ancora!
nel punto2) mi dici che l'insieme A dell'esempio da me riportato non e necessariamente un minorante dei maggioranti. Lo è (almeno in parte, come sottoinsieme) solo quando il sup di A coincide con il suo max?
Mi spiego meglio:
-1°: sup A = max A => max A = Inf MA = min MA Allora considerando i minoranti dei maggioranti A ottengo che il max dei m(MA) (essendo questo anche piu ampio di A) coincide con il max di A?
-2°: se il sup A non= a max A significa che il il max dei minoranti dei maggioranti A e comunque = al min dei MA ? e quindi che tra l'insieme A e i suoi maggioranti ci possono essere infiniti numeri appunto perchè non ha un max?
e il max dei minoranti dei maggioranti è comunque il sup di A?
es:
1)
A:= [0,1]
MA:=[1,+OO)
Allora il max di minoranti di MA è il max di A?
2)
A:= [0,1)
MA:=[1,+OO)
Allora il max di m(MA) non è il max di A perche questo non ha max ma sarà comunque = al min di MA = sup A non= max A ?
Ho capito bene?
*dall tuo esempio MA è aperto inferiormente! non ha min?
Grazie ancora!
Ops... MA e' ovviamente chiuso inferirmente! (adesso correggo)
La prima e' certamente giusta.
La seconda non lo so. Sicuramente max m(MA) = min MA. Per il resto non so se sia corretto dire che ci sono infiniti numeri fra A e MA. Mi metto in attesa di qualcuno piu' esperto....
La prima e' certamente giusta.
La seconda non lo so. Sicuramente max m(MA) = min MA. Per il resto non so se sia corretto dire che ci sono infiniti numeri fra A e MA. Mi metto in attesa di qualcuno piu' esperto....
Per la seconda ci ho pensato. E' sicuramente sbagliata.
Infatti ad esempio:
A := [0,1)
MA= [1,+oo)
Sia x un numero fra A ed MA allora:
x >= 1.................(altrimenti sarebbe in A)
x < 1...................(altrimenti sarebbe in MA)
Ovviamente e' impossibile che un numero verifichi contemporaneamente le due condizioni. Quindi non ci sono numeri fra A ed MA.
Infatti ad esempio:
A := [0,1)
MA= [1,+oo)
Sia x un numero fra A ed MA allora:
x >= 1.................(altrimenti sarebbe in A)
x < 1...................(altrimenti sarebbe in MA)
Ovviamente e' impossibile che un numero verifichi contemporaneamente le due condizioni. Quindi non ci sono numeri fra A ed MA.
Certo era ovvio, scusa ma ho pensato bene ma scritto male la domanda, volevo dire che l'insiame A è infinito, non a max, e che prima di "incontrare" min Ma=sup ci sono infiniti numeri, giusto? Si avvicina ad uno ma non lo tocca mai perchè sono numeri reali? 
Chiariscimi un pò le idee!
Chiariscimi un pò le idee!
Non so se ho capito bene quello che vuoi dire.
Comunque:
A:=[0,1)
Contiene infiniti numeri tutti piu' piccoli di 1. E' impossibile trovare un numero massimo in A perche' se ne puo' sempre trovare uno piu' grande, ma ancora piu' piccolo di 1. Quindi A "si avvicina" a 1, ma non lo incontra mai.
Puoi pensare:
$ A = lim_{n -> +oo} [0,1-1/n] $
Cioe' che A sia il limite di una successione di insiemi ciascuno dei quali ammette massimo ed ha come massimo un numero sempre piu' vicino a 1....
In ogni caso tutti gli infiniti numeri fra 0 e 1 piu' piccoli di 1 sono in A. Non ci sono numeri che separino MA da A. (questo per il discorso che ho fatto prima)
Non so se questo risponde alla tua domanda....
Comunque:
A:=[0,1)
Contiene infiniti numeri tutti piu' piccoli di 1. E' impossibile trovare un numero massimo in A perche' se ne puo' sempre trovare uno piu' grande, ma ancora piu' piccolo di 1. Quindi A "si avvicina" a 1, ma non lo incontra mai.
Puoi pensare:
$ A = lim_{n -> +oo} [0,1-1/n] $
Cioe' che A sia il limite di una successione di insiemi ciascuno dei quali ammette massimo ed ha come massimo un numero sempre piu' vicino a 1....
In ogni caso tutti gli infiniti numeri fra 0 e 1 piu' piccoli di 1 sono in A. Non ci sono numeri che separino MA da A. (questo per il discorso che ho fatto prima)
Non so se questo risponde alla tua domanda....
Perfetto, ho capito!
Non ci sono numeri tra A e MA appunto perche tutti i numeri infiniti prima dell supA appartengono ad A!
Grazie ancora alla prossima
Ciao
Non ci sono numeri tra A e MA appunto perche tutti i numeri infiniti prima dell supA appartengono ad A!
Grazie ancora alla prossima
Ciao
Esatto!
Ciao.
Ciao.
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