Estremo relativo della funzione
salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio dato dal prof.
Trovare,se esistono, i punti di estremo relativo della seguente funzione:
$f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2(x-y)^{2}+2$
vorrei sapere come poter iniziare a svolgerlo.
se mi potete aiutare..
grazie.
Trovare,se esistono, i punti di estremo relativo della seguente funzione:
$f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2(x-y)^{2}+2$
vorrei sapere come poter iniziare a svolgerlo.
se mi potete aiutare..
grazie.
Risposte
"insule15":
vorrei sapere come poter iniziare a svolgerlo.
calcolando le derivate parziali prime della funzione
allora calcolo le derivate parziali prime:
$f'_{x}=4x^{3}-4x+4y$
$f'_{y}=4y^{3}+4x-4y$
dimmi se è corretto.
e ora come continuo.
fammi sapere.
grazie.
$f'_{x}=4x^{3}-4x+4y$
$f'_{y}=4y^{3}+4x-4y$
dimmi se è corretto.
e ora come continuo.
fammi sapere.
grazie.
"insule15":
allora calcolo le derivate parziali prime:
$f'_{x}=4x^{3}-4x+4y$
$f'_{y}=4y^{3}+4x-4y$
dimmi se è corretto.
e ora come continuo.
fammi sapere.
grazie.
no, ci sono errori di segno. Poi si trovano i punti critici, ovvero quelli che azzerano il vettore delle derivate prime. Successivamente si calcola la matrice hessiana ecc ecc....ma sei sicuro di aver studiato prima ben bene la teoria??
scusa ma mi potresti mostrare i passaggi..
non sto riuscendo a risolverlo questo esercizio.
fammi sapere.
grazie.
non sto riuscendo a risolverlo questo esercizio.
fammi sapere.
grazie.
"insule15":
scusa ma mi potresti mostrare i passaggi..
non sto riuscendo a risolverlo questo esercizio.
fammi sapere.
grazie.
1) calcolare le derivate prime (quelle che hai calcolato sono quasi giuste ma ricontrolla i segni perché c'è qualche cosa che non va)
2) occorre porre il sistema composto dalle due derivate prime =0 e risolvere tale sistema individuando tutte le coppie di valori $(x,y)$ che azzerano il sistema.
3) si calcola la matrice delle derivate seconde (si chiama matrice hessiana).
4) sostituire i valori dei punti critici trovati in 2) nella matrice hessiana, dopodiché si valuta se:
a) primo elemento della matrice positivo e determinante positivo -> punto di minimo
b) primo elemento della matrice negativo e determinante positivo -> punto di massimo
c) determinante negativo -> punto di sella
d) determinante nullo -> non possiamo dire nulla (per ora)
le derivate parziali prime sono:
$(partial f(x,y))/(partialx)=4x^3-4x-4y$
$(partial f(x,y))/(partialy)=4y^3-4x-4y$
poni le derivate =0 e ottieni le seguenti soluzioni del sistema....
$(0;0)$
$(sqrt(2);sqrt(2))$
$(-sqrt(2);-sqrt(2))$
ora puoi proseguire
$(partial f(x,y))/(partialx)=4x^3-4x-4y$
$(partial f(x,y))/(partialy)=4y^3-4x-4y$
poni le derivate =0 e ottieni le seguenti soluzioni del sistema....
$(0;0)$
$(sqrt(2);sqrt(2))$
$(-sqrt(2);-sqrt(2))$
ora puoi proseguire
allora le derivata prime l'ho calcolate giuste è solo che avevo sbagliato a scrivere il testo in alto..
ora l'ho modificato.,
ora l'ho modificato.,
come l'ho risolvo il sistema:
${\begin{matrix}
4x^{3}-4x+4y=0 & \\
4y^{3}+4x-4y=0 &
\end{matrix}$
non sto riuscendo a risolverlo..
se mi dici come fare poi continuo io..
grazie.
${\begin{matrix}
4x^{3}-4x+4y=0 & \\
4y^{3}+4x-4y=0 &
\end{matrix}$
non sto riuscendo a risolverlo..
se mi dici come fare poi continuo io..
grazie.
te l'ho già risolto io....
ma vorrei capire come risolverlo con i passaggi.. se me li puoi mostrare grazie.
"insule15":
ma vorrei capire come risolverlo con i passaggi.. se me li puoi mostrare grazie.
Il sistema, una volta semplificato diventa il seguente:
${{: ( x^3=x+y ),( y^3=x+y ) :}$
si vede subito che è verificato per $(0;0)$
Si nota subito una simmetria che implica $x=y$
quindi riscrivo il sistema così:
$x^3=2x$
$x(x^2-2)=0$
$x=y=+-sqrt(2)$
ok allora i punti sono:
$A(0,0)$ $B(\sqrt{2},\sqrt{2})$ $C(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$
ora calcolo le derivate parziali seconde:
$f"_{ xx } = 12x^{2}-4$
$f"_{xy}=-4$
$f"_{yx}=-4$
$f"_{yy}=12y^{2}-4$
calcolo per ciascun punto il determinante hessiano:
$H=$ $\begin{vmatrix}
12x^{2}-4 & -4\\
-4& 12y^{2}-4
\end{vmatrix}$
= 48(3x^{2}y^{ 2}-x^{2}-y^{2})$
è corretto?
ora come devo proseguire con i calcoli.
fammi sapere.
grazie.
$A(0,0)$ $B(\sqrt{2},\sqrt{2})$ $C(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$
ora calcolo le derivate parziali seconde:
$f"_{ xx } = 12x^{2}-4$
$f"_{xy}=-4$
$f"_{yx}=-4$
$f"_{yy}=12y^{2}-4$
calcolo per ciascun punto il determinante hessiano:
$H=$ $\begin{vmatrix}
12x^{2}-4 & -4\\
-4& 12y^{2}-4
\end{vmatrix}$
= 48(3x^{2}y^{ 2}-x^{2}-y^{2})$
è corretto?
ora come devo proseguire con i calcoli.
fammi sapere.
grazie.
Adesso prendi la matrice hessiana e ci sostituisci dentro i valori dei punti critici
$(sqrt(2),sqrt(2))$
$(-sqrt(2),-sqrt(2))$
$(0,0)$
e poi se guardi indietro ti ho anche messo la regoletta per vedere se è un massimo, un minimo o quant'altro.
Se il determinante dell'hessiana viene zero occorre fare ulteriori analisi ..che puoi trovare facilmente guardando tutti i topic intitolati "hessiano nullo" e che puoi facilmente trovare con la funzione "cerca"
ma scusa eh....tu hai mai risolto una ricerca di massimi e minimi in due variabili?
$(sqrt(2),sqrt(2))$
$(-sqrt(2),-sqrt(2))$
$(0,0)$
e poi se guardi indietro ti ho anche messo la regoletta per vedere se è un massimo, un minimo o quant'altro.
Se il determinante dell'hessiana viene zero occorre fare ulteriori analisi ..che puoi trovare facilmente guardando tutti i topic intitolati "hessiano nullo" e che puoi facilmente trovare con la funzione "cerca"
ma scusa eh....tu hai mai risolto una ricerca di massimi e minimi in due variabili?
ok.. dimmi se ci sono errori.
In $A=(0,0)$ risulta $H_{A}=48(0)=0$
In $B=(\sqrt{2},\sqrt{2})$ risulta $H_{B}=384$
In $C=(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ risulta $H_{B}=384$
Essendo in B e in C l'hessiano positivo, dobbiamo valutare le derivate parziali seconde.
Per B: $f''_{x x}=12(\sqrt{2})^{2}-4=20$
punto di minimo;
per C:$f''_{x x}=12(-\sqrt{2})^{2}-4=-28$
punto di massimo.
è corretto?
per il punto A cosa si può dire..
mi puoi aiutare a completare questo esercizio.
fammi sapere.
grazie.
In $A=(0,0)$ risulta $H_{A}=48(0)=0$
In $B=(\sqrt{2},\sqrt{2})$ risulta $H_{B}=384$
In $C=(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ risulta $H_{B}=384$
Essendo in B e in C l'hessiano positivo, dobbiamo valutare le derivate parziali seconde.
Per B: $f''_{x x}=12(\sqrt{2})^{2}-4=20$
punto di minimo;
per C:$f''_{x x}=12(-\sqrt{2})^{2}-4=-28$
punto di massimo.
è corretto?
per il punto A cosa si può dire..
mi puoi aiutare a completare questo esercizio.
fammi sapere.
grazie.
"insule15":
per C:$f''_{x x}=12(-\sqrt{2})^{2}-4=-28$
[size=200]????[/size]
cosa c'è che non va?
me lo puoi spiegare?
grazie.
me lo puoi spiegare?
grazie.
"insule15":
cosa c'è che non va?
me lo puoi spiegare?
grazie.
secondo te è giusto questo calcolo che hai fatto?
$12(-sqrt(2))^2-4=-28$
...toglimi una curiosità....ma che tipo di studi fai?
no...
viene 20..
viene 20..
"insule15":
no...
viene 20..
ok..
ora per quanto riguarda il punto in cui il Determinante viene zero....non si può dire nulla....
occorre fare ulteriori analisi....voi cosa fate in questo caso? vi fermate qui o procedete con altri metodi (ad es. il test del segno) per analizzare l'Hessiano nullo?
Questo io non lo posso sapere.....me lo devi dire tu
"insule15":
salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio dato dal prof.
Trovare,se esistono, i punti di estremo relativo della seguente funzione:
$f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2(x-y)^{2}+2$
vorrei sapere come poter iniziare a svolgerlo.
se mi potete aiutare..
grazie.
cazz...ma mi prendi in giro? hai modificato la funzione (oggi alle 11:28)! prima avevi messo
$f(x,y)=x^{4}+y^{4}-2(x+y)^{2}+2$
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