Estremo o no?

[leev]

Sia f: (a,b) -> IR una funzione n-volte "continuamente differenziabile" tale che per k=0,...,n-1; ma con . Dimostrare che se n è pari, f possiede un estremo (cioè, un massimo o un minimo) in x0, e se n è dispari, f non ha estremi in x0.

Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Mi è stato indicato di utilizzare la formula di taylor...ma nn saprei.

[Penso che in italiano non si dica "continuamente differenziabile", cmq praticamente intendo ke la deriva è una funzione continua; infatti il fatto che sia continua dovrebbe essere fondamentale!]

L.L

[asdf4]

Se consideri un intorno di Xo, X appartenente a questo intorno, scrivi lo sviluppo in serie di Taylor hai

f(X-Xo) = f(Xo) + f'(Xo)*(X-Xo)+... + f(n-1)(Xo)/((n-1)!)*(X-Xo)^n-1 + (1/n!)*f(n)(Xo)*(X-Xo)^n + o( |X-Xo|^n). L'o piccolo finale ce ne freghiamo ( sono gli infinitesimi successivi).

Ma la funzione è tale che le derivate fino alla n-1 valgono 0 in Xo.

Allora ti resta f(X-Xo)-f(Xo)= f(n)(Xo)*(X-Xo)^n + o (...)

Ti sta dicendo come incrementa la f(X) nell'intorno di Xo. Vedi bene che se n è pari, il fatto che tu stia valutando la funzione a destra o a sinistra di Xo non è influente: (X-Xo)^n è sempre positivo, localmente.
Formalmente, esiste un intorno di Xo per cui, per qualunque X appartenente a questo intorno, f(X-Xo)-f(Xo) ha sempre lo stesso segno. Vuol dire che Xo è punto estremante ( è massimo o minimo relativo).

Se invece n è dispari, ti sta dicendo che hai solo un punto stazionario, ma NON estremante. Infatti da una parte l'incremento sarà negativo, dall'altra positivo. E' il segno della derivata n-esima che te lo fa capire e la continuità fino all'ordine n ti permette di fare questo ragionamento.

Se non sono chiaro fammi sapere quando vuoi, cercherò di scriverlo un po' più decentemente...

[leev]

Ciao, grazie 1000.
Penso di aver capito l'idea
Cmq un dettaglio: il resto O(...) non può creare problemi per il segno?

L.L

[asdf4]

quote:

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Originally posted by leev

Ciao, grazie 1000.
Penso di aver capito l'idea
Cmq un dettaglio: il resto O(...) non può creare problemi per il segno?

L.L

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In realtà no; perchè nell'ipotesi f(n)(Xo) diverso da 0 quello che trascuri è un infinitesimo di ordine superiore, che non ti cambia il comportamento dell'incremento della funzione nell'intorno. Nella disgraziata ipotesi che sia anche questo uguale a 0, non puoi più trascurare i termini dell' o piccolo.

[leev]

Ok, forse non ero cosi in chiaro allora:
cmq mi è sorta qualke domanda anke sulla tua prima risposta:

dove dici
" f(X-Xo) = f(Xo) + f'(Xo)*(X-Xo)+... + f(n-1)(Xo)/((n-1)!)*(X-Xo)^n-1 + (1/n!)*f(n)(Xo)*(X-Xo)^n + o( |X-Xo|^n) "
non intendi forse f(X) all'inizio (sviluppato seocndo Xo chiaramente)?

Inoltre nel passaggio seguente dovrebbe caderti anke f(Xo), visto che k parte da 0 (comunque questo non cambia la morale (no?). quindi otterrei f(X)= f(n)(Xo)*(X-Xo)^n /n! + o (...)

Comunque, passando all'ultimo post, mi sorge il dubbio: o(|X-Xo|^n) è il resto che nella forma di lagrange si scriverebbe f(n+1)(&)/(n+1)! * (X-Xo)^(n+1) ?

Se è cosi, allora non ho capito:
o(...) è di grado superiore, quindi potrebbe avere un valore piu grande (in valore assoluto) del resto della funzione, e dunque, per esempio,potrebbe farmi mantenere a destra e a sinistra lo stesso segno per una funzione con n dispari ?!?

Thanks

L.L

[asdf4]

Sì, io ho sviluppato con Taylor in un punto X a partire da un Xo, con il resto secondo Peano. Detto in termini più formali, se X tende a Xo quella quantità "o piccolo" va a zero più rapidamente di |X-Xo|^n; per cui per valutare il segno nell'intorno di Xo, il termine che prevale è la parte principale, l'o piccolo non è influente...
Attenzione che parliamo di un INFINITESIMO.
Sotto opportune ipotesi ( mi pare continuità delle derivate fino alla n-esima ed esistenza della n+1 esima o qualcosa del genere) quell'o piccolo ( il resto secondo Peano) è stimabile secondo il teorema di Lagrange come dicevi tu.