Estremo inferiore, risultato inesatto

[ramy100689]

Sto provando a risolvere un esercizio sull' estremo superiore. Innanzitutto ho notato, studiando la funzione, che l' estremo superiore non esiste perché per x che tende a $-\infty$ la funzione va a $+\infty$. L' insieme è questo:

$A= { x \in \R , sqrt(x^2+x)-x }$

Con i limiti e le derivate sarebbe facile da risolvere, ma siccome col metodo che sto usando il risultato viene errato, vorrei comunque sapere il perché e capire cosa sbaglio. Sto provando a trovare l' estremo superiore verificando se esiste un valore di b tale che questa diseguaglianza è soddisfatta per ogni x:

$sqrt(x^2+x)-x \le b$

Sviluppando viene:

$x(1-2b) -b^2 \ge 0$

Ora se il delta è minore o uguale a zero per qualche valore di b, allora l' estremo superiore esiste:

$\Delta(b)= (1-2b)^2 = 4b^2 -4b +1 \le 0$

$b= \frac{4 + sqrt(16-16)}{8}= \frac{1}{2}$

Quindi mi viene che l' estremo superiore è $\frac{1}{2}$ anche se l' estremo superiore non esiste. Cosa sto sbagliando?

[Quinzio]

"ramy100689":Sto provando a risolvere un esercizio sull' estremo superiore. Innanzitutto ho notato, studiando la funzione, che l' estremo superiore non esiste perché per x che tende a $-\infty$ la funzione va a $+\infty$. L' insieme è questo:

$A= { x \in \R , sqrt(x^2+x)-x }$

Con i limiti e le derivate sarebbe facile da risolvere, ma siccome col metodo che sto usando il risultato viene errato, vorrei comunque sapere il perché e capire cosa sbaglio. Sto provando a trovare l' estremo superiore verificando se esiste un valore di b tale che questa diseguaglianza è soddisfatta per ogni x:

$sqrt(x^2+x)-x \le b$

Sviluppando viene:

$x(1-2b) -b^2 \ge 0$

Cosa sto sbagliando?

Fin qui nulla...
Poi diventa un'equazione di 2° in $b$

$b^2+2xb-x =0$

$b= -x \pm \sqrt(x^2+x)$

Se mandi $x$ a $-oo$ anche $b$ deve andare all'infinito.

[ramy100689]

Perché è sbagliato risolverla in x? Ho fatto altri esercizi, e se risolvo la diseguaglianza in x, trovando per quali valori di b in delta è minore o uguale a zero, mi vengono risultati esatti. L' ho adottato come metodo di risoluzione e non capisco perché in questo caso risulta sbagliato.

Per esempio trovo il sup di $A={ x \in \R, \frac{1}{x^2+1}}$:

$\frac{1}{x^2+1} \le b$

Sviluppando viene:

$bx^2 +b -1 \ge 0$

$\Delta(b)= 4b^2 + 4b$

$b= \frac{-4 -sqrt(16)}{-8}=1$

E viene giusto. Vorrei capire perché certe volte si può usare questo metodo ed altre no. Mi serve un metodo fisso per risolverli senza usare i limiti e le derivate.