Estremo inferiore e superiore

[zio_mangrovia]

Determinare inf, sup, min, max.
Dato l'insieme $A={k∈R:$ la soluzione di $y′(x)=ky(x), y(0)=1$ è limitata per $x∈[0,+∞[}$

A me la soluzione torna $y(x)=e^(kx)$ , se non sbaglio la funzione non sarà mai negativa ma purtroppo la soluzione dice questo $D: {−∞, N.E., 0, 0}$

[johnhappy1]

Come hai detto tu, la soluzione del sistema
\begin{equation}
\begin{cases}
y'(x)=ky(x) \\
y(0)=1
\end{cases}
\end{equation}
è $y(x)=e^{kx}$ per ogni $k \in
R$. Quindi $y(x)$ è limitata per $x \in [0,+\infty[$ se e solo se $k \in ]-\infty, 0]$.
Da questo segue che $A=]-\infty,0]$, da cui segue che (inf, sup, min, max)= $(-\infty, 0, N.E., 0)$. Le soluzioni dovrebbero essere giuste, ma penso le hai scritte in un ordine diverso da quello in cui le hai richieste.

[zio_mangrovia]

In effetti l'ordine corretto era: inf,min, sup, max

Però non capisco, se $x∈[0,+∞[$
e considero p.e. $k>=0$ la funzione assume valori compresi tra $[1,\infty[$
se invece considero $k<0$ la funzione assume valori compresi tra $]0,1]$

se prendo solo le $x$ positive e guardo i relativi valori della funzione mi accorgo che $kinRR$ può aver qualunque valore poiché la f(x) è sempre definita. Dove sbaglio?!

[johnhappy1]

Il problema sta nell'ordine in cui consideri i valori di $k$ e $x$. Il tuo insieme $A$, per definizione, contiene tutti i valori di $k$ per cui la soluzione di quella disequazione sia limitata in tutto l'intervallo $[0,\infty[$. Quindi quello che tu dovresti fare è: fissare $k$, vedere se la soluzione per quel $k$ è limitata per $x \in [0,\infty[$, se SI includere questo $k$ nell'insieme A, se NO escluderlo. Se ragioni in questo modo le uniche $k$ che vanno bene sono quelle tali che $k \leq 0$ e quindi $A=]-\infty, 0]$.

[zio_mangrovia]

grazie, capito perfettamente