Estremo inferiore e superiore

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Magma1
Magma1
11 set 2016, 15:20
Dato l'insieme $A={x in RR : x=(2n+1)/(2n), AAn in NN}$, dimostrare, mediante la definizione, che $1$ e $3/2$ sono, rispettivamente, l'estremo inferiore e superiore.


$n=1 -> 1+1/2=3/2$

$n=2 -> 1+1/4=5/4$
$vdots$
$n=+oo -> 1$


$A={ninNN : 1

Dato che $3/2$ è il massimo

(sfruttando il fatto che: "se $M=max(A) rArr M=\text{sup(A)}"$,

posso concludere subito che sia l'estremo superiore o è necessario usare per forza la definizione?

Perché ho un problema con la dimostrazione:

$1)$ $3/2 >= x, AA x in A$

$2)$ $AAepsilon>0 EE x in A : x> 3/2-epsilon$

$hArr AAepsilon>0 EE n in NN : (2n+1)/(2n) > 3/2-epsilon$

$hArr 2n+1>(3-2epsilon)n$

$hArr 1 > (1-2epsilon)n$

$hArr n < 1/(1-2epsilon)$

Però non mi torna come risultato... :-k

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Per quanto riguarda l'estremo inferiore mi sembra di aver fatto bene :roll: :

Risposte
donald_zeka
donald_zeka
11 set 2016, 15:20
Dato che 1,3/2 sono rispettivamente il minimo ed il massimo

Chi l'ha detto? Hai solo scritto 2 termini dell'insieme e hai concluso subito che quelli fossero minimo e massimo senza motivo

Per sfruttare la definizione di estremo superiore devi dimostrare che:

$3/2>=x$ per qualsiasi $x in A$

E questo non l'hai dimostrato

Dimostrare che per qualsiasi $epsilon>0$ esiste un $x$ tale che $x>3/2-epsilon$

E questo l'hai svolto bene e il risultato è corretto
cooper1
cooper1
11 set 2016, 15:48
tra l'altro: non so generalmente cosa tu intenda per insieme $ NN $ . Per me questo insieme esclude lo zero. se così fosse anche per te, 1 non è minimo ma è solo l'estremo inferiore perché non appartiene all'insieme. la tua successione si "avvicina" ad 1 ma senza mai diventare 1.
Magma1
Magma1
11 set 2016, 15:56
"Vulplasir":
Dato che 1,3/2 sono rispettivamente il minimo ed il massimo

Chi l'ha detto? Hai solo scritto 2 termini dell'insieme e hai concluso subito che quelli fossero minimo e massimo senza motivo

Per sfruttare la definizione di estremo superiore devi dimostrare che:

$3/2>=x$ per qualsiasi $x in A$

E questo non l'hai dimostrato

L'ho tralasciata per non mettere troppi calcoli; quindi posso concludere l'esercizio dimostrando solamente che:

$3/2 >= x, AA x in A$

$3/2 >= (2n+1)/(2n), AA n in NN$

$3n >= 2n+1$

$n>=1$

Inoltre $3/2 in A rArr 3/2=Max(A) rArr 3/2=\text{sup(A)}" $.




"Vulplasir":

Dimostrare che per qualsiasi $epsilon>0$ esiste un $x$ tale che $x>3/2-epsilon$

E questo l'hai svolto bene e il risultato è corretto


$ n < 1/(1-2epsilon) $


$epsilon$ è un numero infinitamente piccolo quindi $1-2epsilon ~ 1$, quindi avrei $1 > n$,
però per il mio professore lo zero non appartiene a $NN$ :smt012

Inoltre

$(0, 1/(1-2epsilon)) nn NN=O/$ in quanto $NN$ è discreto e tra $0, 1$ non c'è più nessun intero! :|


"cooper":
1 non è minimo ma è solo l'estremo inferiore perché non appartiene all'insieme. la tua successione si "avvicina" ad 1 ma senza mai diventare 1.

Opss... giusto! M'era sfuggito :smt023

"cooper":
tra l'altro: non so generalmente cosa tu intenda per insieme $ NN $ . Per me questo insieme esclude lo zero. se così fosse anche per te

Però non ho capito la relazione con l'appartenenza o meno dello zero a $NN$... :|
donald_zeka
donald_zeka
11 set 2016, 16:30
Puoi prendere epsilon positivo piccolo quanto vuoi ma sarà sempre $1/(1-2epsilon)>1$, quindi esiste sempre un n tale che $n<1/(n-2epsilon)$
cooper1
cooper1
11 set 2016, 19:31
niente stavo pensando ad una cosa sbagliata.
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