Estremo inferiore di una funzione su tutto $ R^2 $

[Mondo3]

Sia $ f(x, y)= x^4 + y^4 + xy$ .

Come faccio a dimostrare che qui l'estremo inferiore di f(x,y) su tutto $ R^2 $ è anche minimo?
(il minimo poi lo calcolo facilmente annullando il gradiente)

[_Tipper]

Ti basta far vedere che la disequazione $f(x,y) \ge f(x_0, y_0)$ è soddisfatta per ogni $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ (dove $(x_0, y_0)$ è il punto che hai trovato).

[Mondo3]

Mi sembra che così il problema è solo spostato.

Come mostro che $x^4+y^4+xy>=-1/8$ per ogni $(x,y)$ di $R^2$?

(-1/8 è il minimo che ho ottenuto imponendo l'annullamento delle derivate parziali)

[franced]

"Mondo":Sia $ f(x, y)= x^4 + y^4 + xy$ .

Come faccio a dimostrare che qui l'estremo inferiore di f(x,y) su tutto $ R^2 $ è anche minimo?
(il minimo poi lo calcolo facilmente annullando il gradiente)

Una funzione continua su un insieme compatto K assume massimo e minimo in K.

Se prendi $R$ abbastanza grande, puoi cercare il minimo della tua funzione nel cerchio
di centro $O$ e raggio $R$.

Infatti, la tua funzione tende a $+ infty$ se il punto $(x,y)$ va all'infinito.

Infatti, se $x ge 1$ e $y ge 1$ si ha la disuguaglianza:

$x^4 + y^4 + xy ge x^2+y^2+xy = (x+frac{1}{2}y)^2 + frac{3}{4}y^2$

[franced]

"franced":

Infatti, se $x ge 1$ e $y ge 1$ si ha la disuguaglianza:

$x^4 + y^4 + xy ge x^2+y^2+xy = (x+frac{1}{2}y)^2 + frac{3}{4}y^2$

Tieni conto che la funzione

$z = x^2 + y^2 + xy$

ha per grafico un paraboloide ellittico e il suo limite è $+ infty$ se $(x,y)$ tende all'infinito.