Estremo inferiore del prodotto
Ciao a tutti,
ho provato a risolvere questo esercizio:
Siano $A,B\in\mathbb{R}_+$ ($\mathbb{R}_+$ contiene lo zero) non-vuoti. Provare che $\text{inf}(AB)=\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B)$. [Notazione: moltiplicazioni insieme-insieme o scalare-insieme si intendono elemento per elemento.]
La mia soluzione. Gli insiemi sono inferiormente limitati quindi esistono $\text{inf}(A),\text{inf}(B)$ reali, finiti. Se $0\in A$ oppure $0\in B$, allora $0\in A\cdot B$ e non c'è niente da dimostrare. Se $A$ e $B$ contengono solo elementi strettamente positivi, ho fatto come segue. La disuguaglianza $\text{inf}(AB)\ge\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B)$ mi è ovvia. Per provare lìaltra disuguaglianza ho fatto così:
\[
\text{inf}(\text{inf}(A)\cdot B)=\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B).
\]
Mostro adesso che $\text{inf}(AB)$ è un minorante di $\text{inf}(A)\cdot B$. Se non lo fosse, esisterebbe $b\in B$ tale che $\text{inf}(AB)>\text{inf}A\cdot b$, quindi esisterebbe anche $a\in A$ tale che $a\le (\text{inf}(AB))/b$, che è un assurdo. Allora $\text{inf}(AB)$ è un minorante di $\text{inf}(A)\cdot B$ e quindi $\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B)\ge \text{inf}(AB)$.
Volevo sapere se la soluzione poteva essere corretta e, se sì, se si poteva fare più facilmente. Ho l'impressione di aver complicato le cose per niente
grazie infinite in anticipo!
ho provato a risolvere questo esercizio:
Siano $A,B\in\mathbb{R}_+$ ($\mathbb{R}_+$ contiene lo zero) non-vuoti. Provare che $\text{inf}(AB)=\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B)$. [Notazione: moltiplicazioni insieme-insieme o scalare-insieme si intendono elemento per elemento.]
La mia soluzione. Gli insiemi sono inferiormente limitati quindi esistono $\text{inf}(A),\text{inf}(B)$ reali, finiti. Se $0\in A$ oppure $0\in B$, allora $0\in A\cdot B$ e non c'è niente da dimostrare. Se $A$ e $B$ contengono solo elementi strettamente positivi, ho fatto come segue. La disuguaglianza $\text{inf}(AB)\ge\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B)$ mi è ovvia. Per provare lìaltra disuguaglianza ho fatto così:
\[
\text{inf}(\text{inf}(A)\cdot B)=\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B).
\]
Mostro adesso che $\text{inf}(AB)$ è un minorante di $\text{inf}(A)\cdot B$. Se non lo fosse, esisterebbe $b\in B$ tale che $\text{inf}(AB)>\text{inf}A\cdot b$, quindi esisterebbe anche $a\in A$ tale che $a\le (\text{inf}(AB))/b$, che è un assurdo. Allora $\text{inf}(AB)$ è un minorante di $\text{inf}(A)\cdot B$ e quindi $\text{inf}(A)\cdot\text{inf}(B)\ge \text{inf}(AB)$.
Volevo sapere se la soluzione poteva essere corretta e, se sì, se si poteva fare più facilmente. Ho l'impressione di aver complicato le cose per niente
grazie infinite in anticipo!
Risposte
"dan93":
Ciao a tutti
Ciao
$a\le (\text{inf}(AB))/b$, che è un assurdo
Questo non sarebbe un assurdo, se entrambi gli insiemi avessero un minimo e $a,b$ fossero proprio i minimi si ridurrebbe a $a\leqa$.
Solo che puoi prendere $a$ anche in modo che valga la disuguaglianza stretta, poi funziona tutto.
Un altro modo di farlo (valuta tu se più semplice o no) poteva essere: $AA\epsilon>0EEa\inA,b\inB$ tali che $a<\text{inf}(A)+\epsilon, b<\text{inf}(B)+\epsilon=>ab<\text{inf}(A)\text{inf}(B)+\epsilon(\text{inf}(A)+\text{inf}(B))+\epsilon^2=>\text{inf}(AB)<\text{inf}(A)\text{inf}(B)+\epsilon(\text{inf}(A)+\text{inf}(B))+\epsilon^2=>\text{inf}(AB)<=\text{inf}(A)\text{inf}(B)$.
Grazie mille, otta96, proprio la risposta che cercavo: sei stata/o molto gentile. Mi interessa più sviluppare una maniera di ragionare giusta che dare solo una soluzione: grazie che mi hai fatto notare il caso in cui la mia soluzione fallisce. Sicuramente era più semplice usare direttamente le definizioni come hai fatto tu 
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