Estremi vincolati: non riesco a proseguire...
Gli estremidi $f(x,y)=sin(x+y)$ su $x^2+y^2 ≤1$ sono:
Mi ricavo le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ che sono coincidenti : $cos(x+y)$
Pongo il gradiente uguale a zero quindi $cos(x+y)=0$ una sola equazione dove la soluzione dovrebbe essere:
$x+y=pi/2+kpi$ , $kinZZ$ $->x=-y+pi/2+kpi$ da qui non riesco ad andare avanti
Mi aiutate per favore?
Mi ricavo le derivate parziali $f_x$ e $f_y$ che sono coincidenti : $cos(x+y)$
Pongo il gradiente uguale a zero quindi $cos(x+y)=0$ una sola equazione dove la soluzione dovrebbe essere:
$x+y=pi/2+kpi$ , $kinZZ$ $->x=-y+pi/2+kpi$ da qui non riesco ad andare avanti
Mi aiutate per favore?
Risposte
Devi vedere se la retta $y=-x+pi/2$ è contenuta nel cerchio $x^2+y^2<=1$
Parametrizza il bordo..
"Vulplasir":
Devi vedere se la retta $y=-x+pi/2$ è contenuta nel cerchio $x^2+y^2<=1$
Non pensavo all'aspetto grafico, accipicchia !!!
Vedo che è una retta con angolo $-pi/4$ che passa per il punto $pi/2$ quindi fuori dal cerchio di raggio unitario, come del resto le altre per $kinZZ$.
ma la soluzione dice $(−sinsqrt(2),sinsqrt(2))$
"anto_zoolander":
Parametrizza il bordo..
cioè?
Vedo che è una retta con angolo −π/4 che passa per il punto π/2 quindi fuori dal cerchio di raggio unitario
No...il fatto che sull'asse y si trovi sopra il cerchio mica vuol dire che non lo interseca...SergeantElias aveva postato il procedimento grafico che si deve fare, ma l'ha cancellato (e ha fatto bene)...questo ragionamento grafico è abbastanza banale e dovresti saperlo fare da te
"Vulplasir":Vedo che è una retta con angolo −π/4 che passa per il punto π/2 quindi fuori dal cerchio di raggio unitario
No...il fatto che sull'asse y si trovi sopra il cerchio mica vuol dire che non lo interseca...SergeantElias aveva postato il procedimento grafico che si deve fare, ma l'ha cancellato (e ha fatto bene)...questo ragionamento grafico è abbastanza banale e dovresti saperlo fare da te
Accetto la sfida!
"Vulplasir":
... @anonymous_0b37e9 aveva postato il procedimento grafico che si deve fare, ma l'ha cancellato ...
Beccato.
Allora traggo questa conclusione:
la retta a $-45°$ rappresenta l'insieme delle soluzioni della funzione $cos(x+y)=0$
ma tenendo conto della restrizione dovrei considerare quei punti della retta le cui coordinate $x$ e $y$ ricadono nel cerchio,
in definitiva tutti i punti del segmento individuato dall'intersezione della retta $-x+pi/2$ con $y=1$ e $x=1$
Cosa ne pensate?
la retta a $-45°$ rappresenta l'insieme delle soluzioni della funzione $cos(x+y)=0$
ma tenendo conto della restrizione dovrei considerare quei punti della retta le cui coordinate $x$ e $y$ ricadono nel cerchio,
in definitiva tutti i punti del segmento individuato dall'intersezione della retta $-x+pi/2$ con $y=1$ e $x=1$
Cosa ne pensate?
"anonymous_0b37e9":
[quote="Vulplasir"]
... @anonymous_0b37e9 aveva postato il procedimento grafico che si deve fare, ma l'ha cancellato ...
Beccato.
[/quote]Dovevo essere più veloce!
Io continuo invece con la mia proposta 
Parametrizzare il bordo del vincolo significa assegnare una curva che ha come sostegno l’insieme.
In questo caso l’insieme è banalmente la circonferenza di raggio $1$
In questo caso sarebbe $phi(t)=(cost,sint),t in[0,2pi]$
Questa funzione associa a ogni valore dell’intervallo, un punto del bordo.
Quindi $f(phi(t))=sin(cost+sint)$ calcola il valore della funzione $f$ precisamente sul bordo.
Trovi il massimo di questa funzione, che corrisponderà al massimo o al minimo dei valori assunti sul bordo.
Parametrizzare il bordo del vincolo significa assegnare una curva che ha come sostegno l’insieme.
In questo caso l’insieme è banalmente la circonferenza di raggio $1$
In questo caso sarebbe $phi(t)=(cost,sint),t in[0,2pi]$
Questa funzione associa a ogni valore dell’intervallo, un punto del bordo.
Quindi $f(phi(t))=sin(cost+sint)$ calcola il valore della funzione $f$ precisamente sul bordo.
Trovi il massimo di questa funzione, che corrisponderà al massimo o al minimo dei valori assunti sul bordo.
avete un link su questo procedimento?
Vorrei ben documentarmi, non riesco a capire perché si cerca solo sul bordo e non all'interno del cerchio.
Poi non capisco come proseguire con la funzione, devo ricalcolare le derivate parziali e porle uguali a zero?
Vorrei ben documentarmi, non riesco a capire perché si cerca solo sul bordo e non all'interno del cerchio.
Poi non capisco come proseguire con la funzione, devo ricalcolare le derivate parziali e porle uguali a zero?
Beccato.
Vulplasir vede e sente tutto
a retta a −45° rappresenta l'insieme delle soluzioni della funzione cos(x+y)=0
ma tenendo conto della restrizione dovrei considerare quei punti della retta le cui coordinate x e y ricadono nel cerchio,
in definitiva tutti i punti del segmento individuato dall'intersezione della retta −x+π/2 con y=1 e x=1
Cosa ne pensate?
No...ma perché non provi a fare un disegno? Hai l'insieme $x^2+y^2<=1$ e la retta $y=-x+pi/2$, devi determinare l'intersezione di questi due luoghi geometrici...oppure verificare che non si intersecano, insomma la parte:
dovrei considerare quei punti della retta le cui coordinate x e y ricadono nel cerchiova bene, ma poi:
in definitiva tutti i punti del segmento individuato dall'intersezione della retta −x+π/2 con y=1 e x=1è tutto senza senso.
non riesco a capire perché si cerca solo sul bordo e non all'interno del cerchio.
Prima si cerca all'interno e poi sul bordo. la condizione cos(x+y)=0 determina i possibili punti estremi all'interno...devi però verificare che tali punti appartengano all'insieme considerato...quello che dice anto_zoolander è il passo successivo, ovvero la ricerca degli estremi sul bordo...ma prima devi verificare l'esistenza di possibili estremi all'interno.
Ok, quello è il disegno in questione, ma è stato fatto da un computer...tu sapresti dimostrare quindi che quella retta non interseca il cerchio? E' questo il punto della questione
Detto in soldoni essendo $A=i n t(A)cuppartialA$
Ovvero Unione dell’interno e il bordo
Supponiamo he esista un punto di Massimo(minimo)
esso o si trova sul bordo, o nell’interno.
Se il gradiente è ovunque non nullo, allora l’interno non contiene punti di Massimo(minimo), pertanto se il bordo è non vuoto,supposta l’esistenza di massimi(minimo), essi devono appartenere al bordo.
Fine.
Ovvero Unione dell’interno e il bordo
Supponiamo he esista un punto di Massimo(minimo)
esso o si trova sul bordo, o nell’interno.
Se il gradiente è ovunque non nullo, allora l’interno non contiene punti di Massimo(minimo), pertanto se il bordo è non vuoto,supposta l’esistenza di massimi(minimo), essi devono appartenere al bordo.
Fine.
"Vulplasir":
Ok, quello è il disegno in questione, ma è stato fatto da un computer...tu sapresti dimostrare quindi che quella retta non interseca il cerchio? E' questo il punto della questione
La retta essendo inclinata a $45°$ individua un triangolo isoscele sugli assi cartesiani e quindi i lati sugli assi sono di ugual misura. La circonferenza ha raggio 1 ed è centrata sull'origine.
La distanza dall'origine alla retta è pari ha $sqrt((pi/2)^2+(pi/2)^2)=sqrt(2)/2pi$ quindi la retta non incontra la circonferenza visto che i suoi punti distano dall'origine $1$. Questo è sufficiente?
Distanza retta-centro maggiore del raggio is the better way
"anto_zoolander":
Detto in soldoni essendo $A=i n t(A)cuppartialA$
Ovvero Unione dell’interno e il bordo
Supponiamo he esista un punto di Massimo(minimo)
esso o si trova sul bordo, o nell’interno.
Chiarissimo
Se il gradiente è ovunque non nullo, allora l’interno non contiene punti di Massimo(minimo), pertanto se il bordo è non vuoto, supposta l’esistenza di massimi(minimo), essi devono appartenere al bordo.
Fine.
Qua sono un po' dubbioso, che significa se il gradiente è ovunque non nullo? Per il calcolo max/min so che devo calcolare il gradiente e verificare per quali valori è uguale a zero.
Si ma se, come si verificherà in questo caso, il gradiente è diverso dal vettore nullo in ogni punto interno ad $A$, significa che $f$ non può ammettere punti di Massimo/minimo nell’interno del suo dominio.
Perché se li ammettesse, allora il gradiente in quel punto si annullerebbe.
Ho fatto la mia parte, mi dileguo.
NB: oggi vulpla sembra essere di buon umore, non farmelo arrabbiare
Perché se li ammettesse, allora il gradiente in quel punto si annullerebbe.
Ho fatto la mia parte, mi dileguo.
NB: oggi vulpla sembra essere di buon umore, non farmelo arrabbiare
"anto_zoolander":
Si ma se, come si verificherà in questo caso, il gradiente è diverso dal vettore nullo in ogni punto interno ad $A$, significa che $f$ non può ammettere punti di Massimo/minimo nell’interno del suo dominio.
Perché se li ammettesse, allora il gradiente in quel punto si annullerebbe.
Ho fatto la mia parte, mi dileguo.
NB: oggi vulpla sembra essere di buon umore, non farmelo arrabbiare
Thanks , come al solito preziosi consigli come l'oro!
Cercherò di cogliere i tuoi consigli
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